Принцип неопределенности и диапазон энергий электрона в атоме

У меня есть следующее упражнение:

Используйте принцип неопределенности Гейзенберга и соотношение Δ ты "=" ⟨ ты 2 ⟩ − ⟨ ты ⟩ 2 найти интервал энергии, который имеет электрон в атоме диаметром 1 амстронг.

Это попытка решения:

  • Из принципа неопределенности: Δ п Δ Икс ≥ ℏ / 2 . Поэтому Δ п ≥ ℏ / 2 Δ Икс .

  • Без учета релятивистских поправок (не знаю, нормально ли это), Е с "=" п 2 / 2 м

  • Из определения стандартного отклонения Δ п "=" ⟨ п 2 ⟩ − ⟨ п ⟩ 2 . Затем Δ п 2 "=" ⟨ п 2 ⟩ − ⟨ п ⟩ 2 . Поэтому ⟨ п 2 ⟩ "=" Δ п 2 + ⟨ п ⟩ 2

  • Энергия электрона будет равна кинетической энергии минус потенциальная энергия:

Е "=" п 2 / 2 м − е 2 / р

Тогда средняя энергия будет

⟨ Е ⟩ "=" ⟨ п 2 ⟩ / 2 м − е 2 / ⟨ р ⟩ "=" ( Δ п 2 + ⟨ п ⟩ 2 ) / 2 м − е 2 / ⟨ р ⟩

Здесь я не знаю, как продолжить. Должен ли я предполагать ⟨ п ⟩ "=" 0 ? Почему? И даже если предположить, что замена ⟨ р ⟩ с Δ Икс , что я полагаю 1 * 10 − 10 м (почему?) Я не получаю значения энергии, похожего на энергию атома водорода на уровне земли (который имеет примерно такой же диаметр, как этот).

Что я делаю не так?

Ответы (1)

⟨ п ⟩ "=" 0 потому что импульс - это вектор, и он указывает во всех направлениях с равной вероятностью, предполагая волновую функцию ψ ( р ) является сферически симметричным.

⟨ | р | ⟩ ≈ а 0 .

Соединение их вместе дает нижнюю границу

⟨ Е ⟩ "=" ⟨ п 2 ⟩ / 2 м − е 2 / 4 π ϵ 0 ⟨ | р | ⟩ "=" ⟨ Δ п ⟩ 2 / 2 м − е 2 / 4 π ϵ 0 ⟨ | р | ⟩ ≈ ℏ 2 / 8 м а 0 − е 2 / 4 π ϵ 0 а 0 ≈ − 24 е В

что довольно близко к фактической энергии связи − 13,6 е В .

Спасибо. Вы правы, кажется, это то, к чему была направлена ​​​​проблема. Я думал, что проблема все еще рассматривает модель атома Бора с орбитами, поэтому <p> не может быть 0.
Принцип неопределенности и диапазон энергий электрона в атоме
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v