Строгое математическое доказательство принципа неопределенности из первых принципов [дубликат]

При рассмотрении интуитивного объяснения принципа неопределенности Гейзенберга (связанный с этим вопрос ниже) упоминается аксиоматический подход к установлению принципа неопределенности. Может ли кто-нибудь указать источник с подробными шагами и объяснениями из первых принципов?

Связанный вопрос

Можно ли интуитивно объяснить принцип неопределенности Гейзенберга?

Некоторый (повторный) поиск обнаружит приведенные ниже доказательства (и другие), которые, возможно, не сразу будут поняты людьми, незнакомыми с определенной терминологией/концепциями.

Связанное доказательство

Научное доказательство принципа неопределенности Гейзенберга

В приведенном выше ответе непонятно

  1. Как произведение векторов, п Вопрос , разлагается на действительную и мнимую части?

  2. Как ожидаемая стоимость п Вопрос квадрат - это квадрат мнимой и действительной частей по отдельности?

  3. Насколько обе квадратные вещи положительны, если задействована сложная часть?

  4. Как квадратные вещи, будучи положительными, означают, что левая часть больше, чем одна четверть квадрата коммутатора?

  5. Почему коммутатор не меняется при смещении [ п , Вопрос ] "=" [ п , Икс ] "=" ℏ ?

Пожалуйста, обратите внимание, я был приличным студентом-физиком (возможно, нет, но я все еще глубоко заинтересован), который забрел в социальные науки для обучения в аспирантуре. Следовательно, я немного заржавел в обозначениях и терминологии. Любые указатели, чтобы освежить концепции и заполнить пробелы в существующих объяснениях, будут высоко оценены. Я понимаю, что мои вопросы могут показаться очень тривиальными или очевидными экспертам, поэтому прошу прощения за мое незнание каких-либо основных понятий.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Обратите внимание, что это не дублирующий вопрос. Вопрос, на который сделана ссылка, чтобы пометить этот вопрос как дубликат, связан с этим вопросом. Этот настоящий вопрос возник в результате некоторых сомнений относительно другого вопроса. Я удалю это редактирование, как только это станет ясно.

Аксиоматические доказательства принадлежат математике. Потребность в HUP как принципе исходит из данных: необходимость моделирования волновой природы вероятностей для измерений в микромире. Все математические доказательства могут сказать вам, что математическая модель успешно соответствует данным.
Повторю: HUP называется принципом, но его можно было бы назвать «законом», как в «законах тяготения», или «правилом», как в «правиле Борна». В физике «принципы», «законы», «постулаты» — это слова, используемые для того, чтобы подчеркнуть, что необходимо наложить дополнительные ограничения на математику и математические решения, чтобы выбрать подмножество решений, которые СООТВЕТСТВУЮТ ДАННЫМ И НАБЛЮДЕНИЯМ. Нет никакого способа «подтвердить данные». Вот почему физические теории подтверждаются, а не доказываются. Согласованность математических предсказаний с данными подтверждает теорию физики. не доказывает
Поэтому ответы, которые вы получаете, показывающие, что HUP возникает из используемой математики, не являются доказательством HUP. Это доказательство соответствия математической модели данным. Когда что-то правильно доказано в математике, оно не может измениться. Физические постулаты/принципы/законы и т. д. могут быть изменены, чтобы соответствовать наблюдениям. Пример: для высоких скоростей постулаты Галилея отбрасываются, и получаются постулаты специальной теории относительности, которые соответствуют данным.
@annav Спасибо за ваши разъяснения. Я понимаю, что вы говорите. Мое редактирование основано на том, что Qmechanic помечает этот вопрос как дубликат, а это не так, поскольку он ссылается и ищет разъяснения по вопросу, на основании которого он / она пометил его как дубликат.

Ответы (2)

Доказательство здесь показывает, что эрмитовы операторы А , Б удовлетворить о А о Б ≥ 1 2 | ⟨ [ А , Б ] ⟩ | . (Это следствие неравенства Коши-Шварца в гильбертовом пространстве.) Поскольку [ Икс , п ] "=" я ℏ , о Икс о п ≥ ℏ 2 .

Спасибо за ваше время, чтобы указать на этот другой ответ. Я видел другое доказательство, которое вы упомянули. Я не понимаю, как разлагается продукт и часть после него. Я отредактировал вопрос, чтобы отразить это. Не могли бы вы уточнить эти шаги?

1) Это произведение операторов. И они не столько разлагаются на действительные и мнимые части, сколько на самосопряженные и антисамосопряженные части.

Если взять самосопряженный А , Б линейных операторов на некотором подходящем гильбертовом пространстве, ясно, что

А Б "=" 1 2 ( А Б + Б А ) + 1 2 ( А Б − Б А ) ,
с
1 2 ( А Б + Б А ) + 1 2 ( А Б − Б А ) "=" 1 2 А Б + 1 2 Б А + 1 2 А Б − 1 2 Б А "=" 2 1 2 А Б "=" А Б .
Теперь, так как А и Б являются самосопряженными,
( А Б + Б А ) † "=" Б † А † + А † Б † "=" Б А + А Б "=" А Б + Б А ,
так этот "антикоммутатор", А Б + Б А , является самосопряженным, если А и Б являются.

Однако, если мы посмотрим на коммутатор, А Б − Б А ,

( А Б − Б А ) † "=" Б † А † − А † Б † "=" Б А − А Б "=" − ( А Б − Б А ) ,
коммутатор самосопряженных операторов А , Б является антисамопомазанием.

Теперь причина, по которой он назвал их «действительными» и «мнимыми», заключается в том, что в пространстве всех линейных операторов унитарного векторного пространства самосопряженные операторы аналогичны действительным числам в поле комплексных чисел, а антисамосопряженные операторы аналогичны мнимым числам.

2 и остальные) Во-первых, мы должны отметить, что мы берем ожидаемые значения по отношению к квантовым состояниям. Если наша частица находится в состоянии | ψ ⟩ , то ожидаемое значение А по отношению к государству | ψ ⟩ является ⟨ А ⟩ ψ "=" ⟨ ψ | А | ψ ⟩ , из которого мы видим, что ожидаемое значение является линейным.

Сейчас, когда,

⟨ А Б ⟩ "=" ⟨ 1 2 ( А Б + Б А ) + 1 2 ( А Б − Б А ) ⟩ "=" 1 2 ⟨ А Б + Б А ⟩ + 1 2 ⟨ А Б − Б А ⟩ .

Следует отметить, что математическое ожидание оператора связано с его собственными значениями. Среднее значение самосопряженного оператора действительно, потому что его собственные значения действительны, а математическое ожидание антисамосопряженного оператора является мнимым, потому что собственные значения мнимые. Кроме того, поскольку коммутатор [ А , Б ] "=" А Б − Б А антисамосопряженный, то существует самосопряженный оператор С , для которого [ А , Б ] "=" я С , с я С тогда является антисамосопряженным ( С является самосопряженным, но я меняет знак).

Обратите внимание, что сообщение, которое вы цитировали, было неверным в том смысле, что мы берем не квадрат ожидаемого значения, а квадрат абсолютного значения ожидаемого значения.

Но с тех пор ⟨ А Б − Б А ⟩ "=" ⟨ [ А , Б ] ⟩ "=" ⟨ я С ⟩ "=" я ⟨ С ⟩ , а затем берем квадрат абсолютного значения ⟨ А Б ⟩ :

| ⟨ А Б ⟩ | 2 "=" 1 4 ⟨ А Б + Б А ⟩ 2 + 1 4 ⟨ С ⟩ 2 ,
но потом
| ⟨ А Б ⟩ | 2 ≥ 1 4 ⟨ С ⟩ 2 ,
и все здесь меньше, чем ( Δ А ) 2 ( Δ Б ) 2 , Который означает, что
( Δ А ) ( Δ Б ) ≥ 1 2 ⟨ С ⟩ ,
но для Икс и п , С "=" − я [ Икс , п ] "=" − я я ℏ я "=" ℏ я , так 1 2 ⟨ С ⟩ "=" ℏ / 2 .

Обратите внимание, что доказательство, на которое вы ссылаетесь, немного неверно, исходя из моего первого взгляда, или оно использовало некоторые неявные алгебраические манипуляции, которые я считаю нетривиальными, но общий ход мыслей тот же.

Спасибо за этот подробный ответ. Не могли бы вы предоставить автономную ссылку (как можно более краткую), чтобы ознакомиться с обозначениями, терминологией и концепциями, обсуждаемыми здесь? Очень признателен за вашу помощь.
@ user249613 Я изучил QM из конспектов лекций, опубликованных лектором, который провел для меня курс QM. Он доступен бесплатно, но только на венгерском языке, поэтому я сомневаюсь, что он будет вам полезен. Большая часть этой лекции была основана на книге Дж. Дж. Сакурая по КМ «Современная квантовая механика», хотя это замечательная книга. Я также могу порекомендовать книгу Гриффитса по QM, которая является очень хорошей вводной книгой (у Сакураи более продвинутая), однако Гриффитс большую часть времени использует волновые функции в нотации функций, в отличие от более абстрактного подхода к нотации векторных скобок состояний.
Очень признательна за разъяснения вашего пациента. Ключевым предположением для вывода принципа неопределенности, по-видимому, является связь между каноническими сопряженными операторами; Икс и п , [ Икс , п ] "=" я ℏ . Я видел по этой ссылке ( en.wikipedia.org/wiki/Canonical_commutation_relation ), что это означает, что два оператора являются преобразованиями Фурье друг друга. Не могли бы вы указать хороший источник для большей интуиции и подробных шагов по этим каноническим сопряженным операторам, их преобразованиям Фурье и почему они должны стабилизировать это отношение коммутатора.
@Qmechanic Обратите внимание, что это не дубликат. В этом вопросе явно упоминаются и запрашиваются разъяснения по частям сообщения, которые вы указываете как те, в которых есть ответ.
Строгое математическое доказательство принципа неопределенности из первых принципов [дубликат]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v