Нарушение принципа запрета Паули, почему энергия квантуется?

Принцип исключения Паули (PEP) говорит о том, что два фермиона не находятся в одном и том же состоянии . Для электрона, связанного с атомом, такое состояние можно полностью охарактеризовать его положением — обычно в сферических координатах.$(r,\theta,\phi)$--, уровень энергии$n$и угловой момент$(l,m)$. Это уже отвечает на ваш первый вопрос: даже если электроны 1s и 2s могут находиться в одном и том же месте , они не находятся на одном и том же энергетическом уровне, поэтому это не нарушает PEP.

Относительно квантования энергии есть много способов ответить. Самое «правильное» объяснение состоит в том, что нестационарное уравнение Шредингера для системы электрон-орбитальное ядро ​​является ограниченным уравнением, поэтому оно имеет дискретные собственные значения. То есть если решить$H\psi=E\psi$, вы обнаружите, что$E$может иметь только определенные значения, которые могут быть проиндексированы целым числом$n$.

Что касается того, почему это происходит, я боюсь, что никакая интуиция не утолит вашу жажду понимания этого очень важного момента, вы должны изучить математику, стоящую за этим, чтобы понять, что происходит.

Теперь, поскольку объем 2s больше, чем 1s, это означает, что если есть электроны на 2s-орбитали, они будут иметь определенную вероятность оказаться в месте, где находится 1s-орбиталь.

Поскольку ни одно из этих распределений не ограничено, эта вероятность равна 100%. С вероятностью 100%, если вы измеряете электрон на 2s-орбитали, он находится в месте, где вы также могли бы измерить электрон на 1s-орбитали, если бы вы выполнили измерение положения на ней.

Тогда принцип запрета Паули будет нарушен, потому что только 2 электрона могут занимать 1s-орбиталь, поэтому этого не могло бы произойти, если принцип запрета Паули действительно выполняется. Впрочем, как же тогда это объяснить?

Я думаю, вы могли бы подумать, что это классические орбиты с фиксированным радиусом? Они не. Следовательно, наблюдение за электроном в одной конкретной точке, охватываемой 1s-орбиталью, не переведет его в 1s-состояние, если вы понимаете мой дрейф.

Что более интересно в квантовой механике, так это когда существует переход между двумя неортогональными состояниями. И математика для определения этого очень похожа на то, о чем вы говорите. Мы берем каждую точку пространства, в которой можно было бы измерить электрон, и волновая функция присваивает этой точке комплексное число, которое мы называем амплитудой перехода, где объемный интеграл квадрата величины комплексного числа дает вероятность быть найденным в этом объеме, в то время как фаза комплексного числа дает возможность волновым интерференционным эффектам все еще иметь место.

Первое правило для амплитуд состоит в том, что амплитуда параллельного процесса, от A до B через Z1 или Z2, представляет собой сумму амплитуд для каждого из отдельных процессов. Второе правило для амплитуд заключается в том, что амплитуда для последовательного процесса, когда A может перейти в B, перейдя сначала в Z1, а затем оттуда в B, представляет собой комплексное умножение: вы берете эти два комплексных числа, умножаете их величины и складываете их углы.

Возможно, вы уже видите здесь изюминку, но позвольте мне подробно рассказать об этом. Когда вы пытаетесь сделать это, вы получаете объемный интеграл по всему пространству, амплитуду 2s-электрона, чтобы перейти в некоторую точку (x, y, z), умноженную на амплитуду, чтобы перейти из этой точки в 1s. Вы выполняете этот интеграл и обнаруживаете совершенную деструктивную интерференцию. Результирующая амплитуда равна нулю. Никакой переход невозможен.

И действительно, вы можете доказать, что он должен быть равен нулю по другой причине: потому что оба они являются собственными векторами с разными собственными значениями для оператора, который оказывается гамильтонианом. Это не обязательно должен быть гамильтониан, чтобы этот результат сохранялся, но есть дополнительная сила в утверждении, когда это гамильтониан: собственные состояния гамильтониана не изменяются измеримым образом с течением времени. Таким образом, это перестает быть просто «это не может произойти мгновенно», и оно усиливается до «даже если вы позволите этому сидеть в течение определенного периода времени, это не произойдет».

В квантовой механике есть еще несколько приемов, о которых стоит упомянуть. Один из них заключается в том, что электроны — неразличимые частицы, поэтому на самом деле не было бы никакого способа узнать, попал ли туда электрон в состоянии 1s из состояния 2s или нет. . Так что, возможно, вы обнаружитеэлектрон в состоянии 1s, вы не можете сказать мне с уверенностью, что вы уверены, что это был тот, который раньше находился в состоянии 2s. Может быть, это было, может быть, это не было. Еще один сложный аспект, подобный этому, заключается в том, что если вы собираетесь очень жестко зафиксировать положение одного из этих электронов, это потребует обстрела атома большим количеством света, и этого света будет достаточно, чтобы оттолкнуть эти электроны. электронов со своих орбит, поэтому обнаружение одного из них не там, где он должен быть, на самом деле будет очень нормальным, учитывая то, что вы пытаетесь сделать, чтобы измерить, где находится этот электрон.

«Почему энергия квантована, а не непрерывна?»

Великий Фейнман ответил на это очень поучительно: https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA.

Перефразируя его речь: вопрос «Почему» у неспециалиста обычно не имеет полезного ответа в физике, по крайней мере, если он задает очень общий вопрос вроде «вне контекста», как здесь.

Цитирую Фейнмана:

Теперь, когда вы объясняете «почему», вы должны находиться в неких рамках, в которых вы допускаете, что что-то является правдой. (так в оригинале)

Это означает, что глядя на математическое доказательство, вы можете на каждом шаге спрашивать, «почему» этот шаг работает. Для ответа вы можете затем проверить предыдущий шаг, убедить себя, что все до этого правильно; также проверьте, что любой механизм текущего шага также был доказан или постулирован как аксиома; и тогда можно с уверенностью сказать "поэтому так". Но это верно только для утверждений в этой математической/абстрактной структуре, ничего не говорит о реальности.

Такой же подход невозможен для вопросов о вселенной. Если взять более простой, повседневный вопрос:

«Почему камень падает, если я отпущу его, стоя на Земле?»

Ответ очевиден: «потому что гравитация заставляет тела двигаться навстречу друг другу».

К сожалению, следующим моим вопросом будет: «Хорошо, но почему гравитация заставляет тела двигаться навстречу друг другу?»

Ответ: «Потому что масса искривляет пространство-время, а материя движется по траекториям в пространстве-времени».

Мой следующий вопрос будет: «Почему масса искривляет пространство-время?»

И в этот момент ты вне игры. Нет защиты . Может быть, вы настоящий физик и можете придумать дополнительный ответ на этот вопрос, но я гарантирую вам, что я, как неспециалист, всегда смогу придумать другой, более простой вопрос «Почему», который в конечном итоге (и обычно очень быстро) приведет вас туда, где просто нет ответа. Черт возьми, дети делают это как любимый вид спорта в очень раннем возрасте.

Проблема не в том, что нам как-то трудно найти ответы (что, конечно, тоже верно), а в том, что в конце концов Вселенная не содержит ответов на вопросы «Почему», если копнуть достаточно глубоко. Аксиомы существуют не для того, чтобы мы их видели.

Таким образом, хотя вопрос «почему» является великим стимулом для многих научных исследований, как вопрос, который на самом деле требует конкретного ответа, он может быть очень разочаровывающим.

Наконец: математика и наши теории определенно не являются правильным ответом (за исключением случаев, когда мы перефразируем вопрос в контексте теории, которая тогда имеет мало общего с объективной реальностью). Вселенной нет дела до наших формул.

Чтобы закончить с Фейнманом:

Я не смогу дать вам ответ, почему [...], за исключением того, что я уверяю вас, что они это делают , и скажу вам, что это один из элементов мира [...] но я действительно не могу сделать хорошую работу - любую работу - по объяснению [...] с точки зрения чего-то, с чем вы знакомы, потому что я не понимаю это с точки зрения чего-то другого, с чем вы более знакомы. [большая улыбка]

«Почему существует вероятность оказаться на 1s-орбитали для электрона на 2s-орбитали?»

Исключение Паули утверждает, что только один фермион может занимать одну орбиталь. Из-за спина это означает, что два электрона могут занимать одну пространственную орбиталь. В вашем примере с гелием это действительно так. Однако вы правы в том, что существует вероятность того, что два или более электрона будут находиться в одном и том же месте. Обратите внимание, что, хотя это дает бесконечное отталкивание, объем, в котором это происходит, исчезает, следовательно, это все еще дает конечный вклад в энергию отталкивания. Обратите внимание, что у электронов есть не только корреляция Паули, но и кулоновская корреляция, позволяющая электронам избегать друг друга несколько лучше, чем конфигурация$1s^2 2s$предлагает. $1s^2 2s$конфигурация представляет собой аппроксимацию Хартри-Фока-Слейтера с одним определителем. Более точная волновая функция будет иметь примеси определителей, таких как$1s 2s^2$и т. д.