Я изо всех сил пытаюсь понять, откуда берется проблема (т.е. невозможность выбраться) на радиусе Шварцшильда, решая уравнение движения массивной частицы на радиальной геодезической$\sigma$. Краткий комментарий о каузальной структуре в конце вопроса.

Уравнение движения

Нормализация 4 скоростей с использованием собственного времени дает

$$g(\dot{\sigma}, \dot{\sigma}) = -c^2 = - \left( 1-\frac{R_s}{r} \right) c^2 \dot{t}^2 + \left( 1-\frac{R_s}{r} \right)^{-1}\dot{r}^2$$

Вектор убийства$\partial_t$обеспечивает постоянную движения$g(\dot{\sigma},\partial_t)$, так

$$e := \left( 1-\frac{R_s}{r} \right) \dot{t} = \text{const}$$

Объединив их, мы получим уравнение, похожее на ньютоновское.

$$\dot{r}^2 - \frac{2GM}{r}=e^2c^2-c^2 =: \epsilon = \text{const}$$ Следуя этим конспектам лекций (уравнение 31.4), решается уравнение для случая$\epsilon =0$, что дает простой степенной закон$\tau \propto \pm r^{3/2}$. Знак минус говорит нам, что ничего странного не происходит с наблюдателем, падающим к центру, когда он пересекает радиус Шварцшильда; решение$t(r)$, с другой стороны, взрывается при$R_s$, так что внешний наблюдатель никогда не увидит пересечения. Спрашивается: почему этот аргумент нельзя использовать наоборот? От$\tau \propto +r^{3/2}$выход кажется таким же гладким, как и вход. Я попытался построить решение для общего интеграла без предположения$\epsilon = 0$, но он просто выглядит аналитически более сложным, но концептуально таким же.

Причинная структура

Я (отчасти) понимаю, что правильная постановка для этого вопроса - причинно-следственная структура пространства-времени, что-то вроде ( из этого вопроса )

В координатах Шварцшильда, если посмотреть на$g_{tt}$и$g_{rr}$части метрики, они переворачивают знаки в$r=R_s$. Поэтому «внутри»$r$направление времениподобно и$t$направление пространственноподобно. Подобный будущему времени световой конус любого события внутри горизонта указывает на меньшие значения$r$.

Так что я хотел бы оба:

1. понять, имеет ли смысл подход «уравнение движения», и
2. чтобы полностью понять содержание цитируемого ответа.

$\partial_t$времяподобна снаружи и пространственноподобна внутри,$\partial_r$наоборот, пока хорошо. Каково физическое или геометрическое следствие этого? Что означает, что направление должно быть чем-то подобным?

Этот ответ делает все о «наклоне световых конусов», но разве это не зависит от кадра?

Редактировать: я думаю, что это суть вопроса, говоря о причинности: как определяется «будущее» по отношению к времениподобным и пространственноподобным направлениям? Почему на этих картинках будущее (F) "слева"?

В последней части есть несколько вопросов, которые, как я понимаю, сводятся к одной и той же концепции: что означает, что «время» и «пространство» меняются ролями?