Являются ли горизонты событий «геодезическими»?

Точнее, являются ли горизонты событий нулевыми геодезическими конгруэнциями, что означает, что они допускают локальную параметризацию$x^\mu(t,s_i)$(с$i=1,\ldots,D-2$) такой, что:

Для любой константы$s_i$в$x^\mu(t,s_i)$кривая является нулевой геодезической, то есть если$V^\mu = \frac{\partial x^\mu}{\partial t}$, затем$V^2 = 0$и$V^\mu \nabla_\mu V^\nu = 0$.

Эквивалентно, если я направлю луч света на какое-либо событие на горизонте событий, всегда ли существует такой начальный импульс, что он остается на горизонте в течение конечного времени (в прошлом или в будущем)?

Кроме того, чувствителен ли ответ к размерности пространства-времени? Тип горизонта событий (черная дыра, космологический...)?

Сначала я думал, что это очевидно по определению, но потом, немного подумав, понял, что на самом деле это не так. Горизонт событий, по сути, определяется как оболочка нулевых геодезических, направленных в прошлое, из будущей нулевой бесконечности, поэтому нет очевидной причины, по которой сам горизонт должен состоять из таких нулевых геодезических. (Сравните с тривиальным примером окружности, которая является оболочкой семейства всех касательных к ней прямых, но сама по себе не является прямой...). Однако я не могу придумать контрпример.