Насколько распространена теорема Нётер в классической механике?

Question

Насколько распространена теорема Нётер в классической механике?

ДЛВ

Я просматриваю выводы теорем Нётер и у меня есть несколько критических замечаний по поводу того, как они представлены в популярных источниках (обратите внимание, что здесь я имею в виду только классическую механику и не интересуюсь теоремами в контексте теории поля). Мои комментарии представлены ниже:

Гамильтониан определяется как $H=\sum \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}-L$ . Я не буду вдаваться в подробности, но можно показать, что если потенциальная энергия зависит только от обобщенных координат (а не от скоростей) и если кинетическая энергия является однородной квадратичной функцией $\dot{q}_i$ тогда гамильтониан представляет собой полную энергию.

Факт $\frac{\partial L}{\partial t}=0$ только прямо подразумевает, что $\frac{d}{dt}H=0$ и ничего больше. Итак, моя критика такова: мы не можем ни в каком абсолютном смысле сказать, что симметрия переноса времени подразумевает сохранение энергии; мы можем только сказать, что это подразумевает сохранение гамильтониана, который может быть или не быть полной энергией в соответствии с условиями, которые я разместил выше.

С другой стороны, часто говорят, что если существует пространственная трансляционная симметрия относительно некоторой переменной, то сопряженный импульс сохраняется. И это показано довольно просто:

если $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=0$ затем $\frac{d}{dt}p_{{q}_i}=0$ .

Но это верно только тогда, когда потенциал не зависит от скоростей, если только вы не принимаете $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = P_{q_i}$ даже когда потенциалы зависят от скорости

Так где же я тут накосячил? Являются ли мои утверждения верными, но тем не менее бесполезными, поскольку все потенциалы во Вселенной не зависят от скорости (что я считаю неверным)? Всегда ли можно найти систему координат, для которой $H=E$ ?

Спасибо.

Любопытный Разум

Я не очень понимаю, о чем вы говорите. Теорема Нётер — чрезвычайно общее утверждение о том, что каждой симметрии соответствует соответствующий закон сохранения, и эта теорема дает общую форму сохраняющегося тока. Он не утверждает, что гамильтониан всегда является энергией. Кроме того, импульс

p_{i}

$p_i$ соответствующий координате

q^{i}

$q^i$ определяется как _

\partial L / \partial {\dot{q}}^{i}

$\partial L / \partial\dot{q}^i$ , не уверен, почему вы утверждаете, что это справедливо только для потенциалов, не зависящих от скорости.

ДЛВ

Да, вы могли бы пойти по определению (относительно обобщенных импульсов), но я говорил о более конкретном смысле импульса, где (если бы у нас были декартовы координаты)

\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x}

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$ если

\frac{\partial U}{\partial \dot{x}} = 0

$\frac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0$ .

Любопытный

Для механической системы полная энергия определяется гамильтонианом. Если есть еще один энергетический член, нарушающий симметрию (а таких членов в реальных ситуациях предостаточно), то вы просто ошиблись в формулировке границ системы.

ДЛВ

С другой стороны, я говорю о выводах связи симметрии с законами сохранения в классической механике (то есть я имею в виду системы частиц). Я полностью игнорирую случай с полями.

ДЛВ

Определение гамильтониана не

H = T + V

$H=T+V$ в моей книге. Поэтому я не думаю, что энергия является гамильтонианом по определению. Моя книга — «Классическая динамика частиц и систем» Торнтона и Мэрион.

ДЛВ

Должен ли я публиковать выводы, о которых я говорю, чтобы мой вопрос был более ясным? Я предполагаю, что они могли бы быть сокращены до 3 или около того строк.

Любопытный Разум

Если вы говорите о бетоне

T + V

$T+V$ как «энергия» и бетон

p = m \dot{q}

$p = m\dot{q}$ для особых случаев, то я до сих пор не знаю, в чем заключается ваш вопрос, поскольку теорема Нётер не утверждает, что

T + V

$T+V$ или

m \dot{q}

$m\dot{q}$ сохраняются. Его

H

$H$ и

p_{i}

$p_i$ в их обычном определении это сохраняющиеся величины, связанные с переносом времени и координат соответственно.

Любопытный

Инвариантный во времени гамильтониан может не быть полным определением реальной физической системы (вспомните термодинамические степени свободы). В этом случае Нётер, конечно, не справится. С чего бы это?

ДЛВ

Я думаю, у меня может не хватать знаний, так как я не знал

T + V

$T+V$ не всегда была полной энергией. Я согласен с утверждением теорем

H

$H$ и

p_{i}

$p_{i}$ являются сохраняющимися величинами. Я предполагаю, что суть моей путаницы в том, что теоремы Нётер относятся к другому типу импульса и другому типу энергии, отличным от понятий импульса и энергии, которые могут быть у новичка.

Qмеханик

Комментарий к вопросу (v1): Суть вопроса в лагранжевом формализме (в отличие от гамильтонова формализма). Введение гамильтонова формализма и возможного сингулярного преобразования Лежандра не имеет значения и запутывает дело. Если предположить, что это чисто лагранжев вопрос, то что ОП называет

H

$H$ и

p

$p$ тогда являются лагранжевым определением энергии и импульса соответственно. Их обычно называют лагранжевой функцией энергии и лагранжевым сопряженным/каноническим импульсом соответственно. Они не обязательно соответствуют другим определениям энергии и импульса.

Майкл Зайферт

Для случая, когда канонический импульс сохраняется, а механический нет, вы можете рассмотреть случай заряженной частицы в магнитном поле в рамках лагранжевого формализма. В таком случае вполне очевидно, что

m \dot{v}

$m \dot{v}$ не должно быть константой, но сопряженный импульс все еще может сохраняться. Эта установка хорошо обсуждается в «Мыслях о магнитном векторном потенциале» (Semon & Taylor, Am. J. Phys., Vol. 64, p. 1361).

Ответы (2)

Насколько распространена теорема Нётер в классической механике?

Я не очень понимаю, о чем вы говорите. Теорема Нётер — чрезвычайно общее утверждение о том, что каждой симметрии соответствует соответствующий закон сохранения, и эта теорема дает общую форму сохраняющегося тока. Он не утверждает, что гамильтониан всегда является энергией. Кроме того, импульс $p_i$ соответствующий координате $q^i$ определяется как _ $\partial L / \partial\dot{q}^i$ , не уверен, почему вы утверждаете, что это справедливо только для потенциалов, не зависящих от скорости.
Да, вы могли бы пойти по определению (относительно обобщенных импульсов), но я говорил о более конкретном смысле импульса, где (если бы у нас были декартовы координаты) $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$ если $\frac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0$ .
Для механической системы полная энергия определяется гамильтонианом. Если есть еще один энергетический член, нарушающий симметрию (а таких членов в реальных ситуациях предостаточно), то вы просто ошиблись в формулировке границ системы.
С другой стороны, я говорю о выводах связи симметрии с законами сохранения в классической механике (то есть я имею в виду системы частиц). Я полностью игнорирую случай с полями.
Определение гамильтониана не $H=T+V$ в моей книге. Поэтому я не думаю, что энергия является гамильтонианом по определению. Моя книга — «Классическая динамика частиц и систем» Торнтона и Мэрион.
Должен ли я публиковать выводы, о которых я говорю, чтобы мой вопрос был более ясным? Я предполагаю, что они могли бы быть сокращены до 3 или около того строк.
Если вы говорите о бетоне $T+V$ как «энергия» и бетон $p = m\dot{q}$ для особых случаев, то я до сих пор не знаю, в чем заключается ваш вопрос, поскольку теорема Нётер не утверждает, что $T+V$ или $m\dot{q}$ сохраняются. Его $H$ и $p_i$ в их обычном определении это сохраняющиеся величины, связанные с переносом времени и координат соответственно.
Инвариантный во времени гамильтониан может не быть полным определением реальной физической системы (вспомните термодинамические степени свободы). В этом случае Нётер, конечно, не справится. С чего бы это?
Я думаю, у меня может не хватать знаний, так как я не знал $T+V$ не всегда была полной энергией. Я согласен с утверждением теорем $H$ и $p_{i}$ являются сохраняющимися величинами. Я предполагаю, что суть моей путаницы в том, что теоремы Нётер относятся к другому типу импульса и другому типу энергии, отличным от понятий импульса и энергии, которые могут быть у новичка.
Комментарий к вопросу (v1): Суть вопроса в лагранжевом формализме (в отличие от гамильтонова формализма). Введение гамильтонова формализма и возможного сингулярного преобразования Лежандра не имеет значения и запутывает дело. Если предположить, что это чисто лагранжев вопрос, то что ОП называет $H$ и $p$ тогда являются лагранжевым определением энергии и импульса соответственно. Их обычно называют лагранжевой функцией энергии и лагранжевым сопряженным/каноническим импульсом соответственно. Они не обязательно соответствуют другим определениям энергии и импульса.
Для случая, когда канонический импульс сохраняется, а механический нет, вы можете рассмотреть случай заряженной частицы в магнитном поле в рамках лагранжевого формализма. В таком случае вполне очевидно, что $m \dot{v}$ не должно быть константой, но сопряженный импульс все еще может сохраняться. Эта установка хорошо обсуждается в «Мыслях о магнитном векторном потенциале» (Semon & Taylor, Am. J. Phys., Vol. 64, p. 1361).

Физик137 · Answer 1

Как я вижу, возможно, проблема в энергии. Итак, что такое энергия?

Формальное классическое определение энергии звучит так: Энергия — это динамический инвариант системы, возникший из симметрии переноса времени. Тут тоже есть вопрос по этому поводу. Если вы хотите больше ссылок об этом, дайте мне знать.

Итак... когда Боб пишет, $E = T + V$ в диссипативных системах (например, с затухающими OHS) Боб, таким образом, формально не прав, поскольку величина $E$ явно меняется со временем, поэтому не является динамическим инвариантом, поэтому не может быть энергией этой системы.

Кроме того, вы сказали, что:

\frac{\partial л}{\partial т} "=" \frac{д ЧАС}{д т}

$\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{dH}{dt}$

Это не доказывает теорему Нётер. Это указывает только на то, когда $H$ сохраняется. Полное доказательство теоремы Нётер связано с принципом наименьшего действия. Когда вы принимаете меры $A$ , и заставить его варьироваться бесконечно мало $\delta A$ перевод по времени $\delta t$ и пространственный перевод $\delta q_i$ , и после нескольких вычислений вы получите:

дельта А "=" дельта \int л (д_{я}, {\dot{д}}_{я}, т) д т "=" \int (\frac{\partial л}{\partial д_{я}} - \frac{д}{д т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}}) (дельта д_{я} - {\dot{д}}_{я} дельта т) д т + [\frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}} дельта д_{я} - ЧАС дельта т]

$\delta A = \delta\int L(q_i, \dot q_i, t) dt = \int\left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) \left(\delta q_i - \dot q_i\delta t\right)dt + \left[\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta q_i - H\delta t\right]$

Пространственный перевод $\delta q_i$ связано с импульсом $p_i$ , и перевод времени $\delta t$ связан с гамильтонианом $H$ .

Теперь применим принцип наименьшего действия: $\delta A = 0$ , и получаем:

(\frac{\partial л}{\partial д_{я}} - \frac{д}{д т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}}) (дельта д_{я} - {\dot{д}}_{я} дельта т) д т "=" - \frac{д}{д т} [\frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}} дельта д_{я} - ЧАС дельта т]

$\left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) \left(\delta q_i - \dot q_i\delta t\right)dt = -\frac{d}{dt} \left[\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta q_i - H\delta t\right]$

Здесь мы идентифицируем уравнения Эйлера-Лагранжа, которые должны удовлетворяться и, следовательно, равны нулю (будьте осторожны с скалярными произведениями). Тогда у нас есть сохраняющаяся величина для каждой симметрии действия:

п_{я} дельта д_{я} - ЧАС дельта т "=" с т е

$p_i\delta q_i - H\delta t = cte$

Для временной симметрии $H$ сохраняется, а значит $H$ есть энергия системы по определению. Нет такого доказательства, что $T+V$ сохраняется, поэтому они могут не быть динамическими инвариантами, поэтому они могут не быть энергией.

Таким образом, текущее формальное определение классической энергии было мотивировано теоремой Нётер.

Хотя это кажется нелогичным. Можно ли получить работу от $H$ как в термодинамике? можно из $T+V$ . Может быть, ссылки были бы хороши здесь, как вы говорите. Я хотел бы узнать больше об этом. Кроме того, можно говорить об энергии, когда она не сохраняется. $H$ еще быть определение энергии в таком случае? Спасибо!

Олег · Answer 2

Есть по крайней мере два обобщения теоремы Нётер.

1) Предположим, что гамильтонова система с гамильтонианом $H(z),\quad z=(p,q)$ имеет однопараметрическую группу симметрии $\{g^s_F(z)\}$ которое порождается гамильтоновой системой с гамильтонианом $F$ . Затем $F$ является первым интегралом для $H:\quad \{F,H\}=0$ , причем если $dF\ne 0$ то есть локальные канонические координаты $P,Q$ такое, что в этих координатах (эти координаты можно построить по квадратурам, заданным $g^s_F$ задан) гамильтониан $H$ не зависит от $Q_1$ и $(P,Q)\mapsto g^s_F(P,Q)=(P_1,\ldots,P_n,Q_1+s,Q_2,\ldots,Q_n)$ .

2) Рассмотрим неголономную систему с лагранжианом $L=L(q,\dot q)$ и уравнение ограничений $a_i^j(q)\dot q^i=0,\quad j=1,\ldots,k<n$ . Предположим, что существует однопараметрическая группа $\{g^s(q)\},\quad L(q,\dot q)=L(g^s(q),d g^s(q)\dot q)$ и $a_i^j(q) v^i(q)=0$ . Здесь $v$ это векторное поле, которое генерирует $g^s$ . Тогда система имеет первый интеграл $f=\frac{\partial L}{\partial \dot q^l}v^l.$ Можно также применить теорему выпрямления к $v$

+1. О гамильтоновой версии теоремы Нётер см. также этот пост Phys.SE.

Насколько распространена теорема Нётер в классической механике?

ДЛВ

Любопытный Разум

ДЛВ

Любопытный

ДЛВ

ДЛВ

ДЛВ

Любопытный Разум

Любопытный

ДЛВ

Qмеханик

Майкл Зайферт

Ответы (2)

Физик137

ДЛВ

Олег

Qмеханик

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Суммарная энергия в реономных системах

Определяют ли стационарные гамильтонианы замкнутые системы?

Независимость обобщенных координат и импульсов в гамильтоновой механике [дубликат]

Почему симметрии в фазовом пространстве порождаются функциями, оставляющими гамильтониан инвариантным?

Связь между векторным полем, генератором и скалярным полем в теореме Нётер