Что такое аксиальное преобразование группы, т.е. SU(3)SU(3)SU(3)?

Спинор Дирака, как вы$q$есть, имеет четыре компонента, соответствующие одному левому и одному правому спинору Вейля (двухкомпонентному),

$$q = q_L + q_R.$$ $\gamma_5$это $4\times4$матрица то есть $1$в правой части и $-1$на левой части. Выражение $$q\mapsto q' = \exp(i\Phi_a \lambda^a /2 \gamma_5)q$$ означает $$q_{R(L)} \mapsto q'_{R(L)} = \exp(\pm i\Phi_a \lambda^a/2) q_{R(L)} \tag{1}$$ то есть, что левая и правая части $q$трансформироваться по-разному.

Оператор$A = \Phi_a \lambda^a \gamma_5$действительно является тензорным произведением. Напишите поле$q$можно наиболее явно написать$q_{f\alpha}$где$f = u,d,s$индекс вкуса и$\alpha$является спинорным индексом. Затем$A$является произведением оператора$\Phi_a \lambda^a$действующий на индекс аромата, и оператор$\gamma_5$действует на спинорный индекс.

I) Преобразование аксиальной (векторной) симметрии действует противоположно (одинаково) под левой и правой частями дираковского спинора, ср. киральная симметрия .

II) Группа полной симметрии - это группа произведений$G=SU(3)_F\times SO(3,1)$. кварк$q$преобразуется в представлении$\underline{3} \otimes \underline{4}$, т.е. по фундаментальному представлению$\underline{3}$группы ароматической симметрии$SU(3)_F$и при представлении Дирака-спинора$\underline{4}$группы Лоренца. Преобразования действуют естественным образом, т.е. матрицы Геллмана$\lambda^{\alpha}$воздействовать на$\underline{3}$и$\gamma_{\mu}$матрицы действуют на спинор Дирака$\underline{4}$. ОП прав, что между двумя матрицами существует неявно написанное тензорное произведение:$\lambda^{\alpha}\otimes \gamma_5$в экспоненциальном.