Введение в физическое содержимое из присоединенных представлений

Нижний индекс — это просто заряд данного представления под$U(1)$, гиперзаряд в данном случае. Все неприводимые унитарные представления$U(1)$являются одномерными, и они просто отображают$e^{i\alpha}$элемент$U(1)$(а$1\times 1$матрица) к$e^{iQ\alpha}$, его мощность, где показатель степени содержит фактор заряда$Q$.

Нужно изучить представления групп Ли, чтобы иметь возможность производить разложения, подобные вашему. Возьмем, например, «Алгебру Ли в физике элементарных частиц» Говарда Джорджи, книгу пионера ТВО и моего бывшего коллеги по Гарварду. Конечно, есть и гораздо более формальные, математически ориентированные книги. Во многих из них получение декомпозиции, необходимой для построения модели GUT, может быть затруднено. Но если вы на самом деле понимаете, как определяются представления, тензорные произведения, заряды, генераторы, неприводимые представления и т. д., это вопрос математических рассуждений, которые вы можете сделать сами, чтобы вывести аналогичные разложения.

Возьмите именно этот. $SU(5)$присоединенное представление можно рассматривать как эрмитову матрицу$M$и действие группового элемента$G\in SU(5)$просто

$$M \mapsto G M G^{-1}$$ Обратите внимание, что существует две копии $G$и $G^{-1}=G^\dagger$потому что это унитарно.

Отшельник$5\times 5$матрица имеет 25 независимых вещественных элементов. Общая матрица будет иметь 25 сложных элементов, но те, что ниже главной диагонали, задаются теми, что выше главной диагонали. А диагональные элементы являются реальными, поэтому они содержат «половину реальных параметров». Подводя итог, ровно половина параметров выдерживает условие эрмитовости.

Фактическое присоединенное представление$SU(5)$в отличие от$U(5)$просто 24-мерный. Элемент группы Ли будет иметь единичный определитель (априори комплексное число с абсолютным значением, равным единице). Однако,$M$взято из алгебры Ли, поэтому детерминантное условие переводится в${\rm Tr}(M)=0$. Матрица бесследна.

Теперь вставьте группу Standard Model в этот$SU(5)$. $SU(3)$и$SU(2)$элементы вложены просто блочно-диагональной матрицей с$3\times 3$блок в левом верхнем углу, представляющий$SU(3)$информация и другое$2\times 2$блок в правом нижнем углу, представляющий$SU(2)$элемент. Это вложение дает понять, что мы разбиваем векторы с 5 компонентами на 3+2 компонента.

Точно так же 24 или 25 элементов квадратной матрицы разбиваются на квадраты и прямоугольники,$3\times 3$,$2\times 3$и в следующем толстом ряду$3\times 2$и$2\times 2$. Вы должны нарисовать$5\times 5$квадрат и разделите его на эти четыре квадрата или прямоугольника.

25 из$U(5)$просто разложился бы на эти четыре представления, но они не были бы полностью неприводимыми. След$3\times 3$квадратный блок в левом верхнем углу и след от$2\times 2$блок в противоположном углу может быть отделен. В 24-мерном представлении$SU(5)$, один из этих двух следов удаляется, поэтому остается только один. Это$(1,1)$Представительство в вашем списке.

В противном случае оставшиеся четыре представления в точности соответствуют квадратам и прямоугольникам. $3\times 3$квадрат дает вам$(8,1)$: это тот же квадрат, что и оригинал для$SU(5)$но меньше. Очевидно, он трансформируется только под действием$SU(3)$преобразования, которые смешивают первые три строки и первые три столбца. Это примыкание к$SU(3)$и$8=3^2-1$так же, как$24=5^2-1$. Сходным образом$(1,3)$происходит от примыкания$SU(2)$затронуты только$SU(2)$преобразования и$3=2^2-1$. Это правый нижний квадрат.

Тогда у вас есть элементы вне блочной диагонали, которые имеют размер$3\times 2$поэтому они, очевидно, должны трансформироваться как$(3,2)$, тензорное произведение фундаментальных представлений$SU(3)$и$SU(2)$группы. Таких изображений два – над диагональю и под диагональю. Они комплексно сопряжены друг с другом. Поскольку представления$3$и$2$меньших групп реальны, единственное влияние комплексного сопряжения — противоположный знак$U(1)$заряжать.

Наконец, я должен обсудить индексы. Только что упомянутое недиагональное представление прямоугольника имеет ненулевой заряд$Y$, другой имеет такое же значение с обратным знаком. Все остальные представления, очевидно, должны иметь исчезающий заряд при$U(1)$потому что эти три термина,$(8,1)$,$(1,3)$, и$(1,1)$являются не чем иным, как присоединенным представлением группы Стандартной модели, и все образующие этой группы коммутируют с$U(1)$, гиперзаряд.

Таким образом, единственное число, которое осталось объяснить, это$5/6$плата за прямоугольное представление, и$-5/6$для комплексно-сопряженного на противоположной стороне квадрата. Нормализация этого заряда является условностью. Вы можете масштабировать гиперзаряд в соответствии с вашими соглашениями. Однако отношения гиперзарядов являются физическими. И гиперзаряд должен быть кратным${\rm diag}(+2,+2,+2,-3,-3)$потому что он должен коммутировать со всеми матрицами$SU(3)$и$SU(2)$в блоках, так в блоках он должен быть кратен единичной матрице, а гиперзаряд должен быть бесследным, чтобы быть генератором$SU(5)$, как я уже упоминал, и$2\times 3 - 3\times 2$действительно отменяет.

нормализация этого$U(1)$Генератор гиперзаряда в физике выбирают таким образом, чтобы он согласовывался с принятыми в электрослабой физике условностями. Гиперзаряд$Y$определяется как средний электрический заряд в$SU(2)$электрослабый мультиплет, так что$Q=Y+T_3$. Иногда определение$Q=Y/2+T_3$используется.

В теориях ТВО недиагональные блоки сопряженного становятся чрезвычайно массивными частицами из-за некоторого нарушения симметрии ТВО. Эти$(3,2)$состояния вызывают распад протона, поэтому они должны быть очень тяжелыми. Мы не можем сравнить их ни с какими известными частицами.

Тем не менее, вы можете взять$5$из$SU(5)$, фундаментальное представление, которое должно производить электрослабые синглетные поля кварков: обратите внимание, что это$5$имеет только компоненты, которые преобразуются либо под действием$SU(3)$или$SU(2)$. Например, это правый вверх кварк. Его гиперзаряд — это среднее значение мультиплета, но поскольку это только анти-нижний кварк, на самом деле вы получаете$Y=1/3$. Точно так же оставшиеся две компоненты представляют собой электрослабый дублет, подобно электрону и нейтрино, чей$Y=((-1)+0)/2=-1/2$.

Штаты$(3,2)$в разложившемся$SU(5)$примыкает от$5\otimes \bar 5$а недиагональные части возникают из$3\otimes \bar 2$Итак$Y$следует добавить к первому$-Y$второго множителя, и вы получите$Y=-1/3-1/2=-5/6$. Обратите внимание, что соглашение$Q=Y+T_3$без учета фактора$1/2$был использован. Выявление признаков и факторов$2$право может быть грязным, но я надеюсь, что это по существу правильно.