Найдите электрическое поле равномерно поляризованного шара.

Question

Найдите электрическое поле равномерно поляризованного шара.

Никос Эллинакис

Постановка задачи, все переменные и заданные/известные данные. Мы хотим рассчитать поле равномерно поляризованной сферы радиуса = R.
Соответствующие уравнения

В (\vec{р}) "=" \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \oint_{С} \frac{о_{б}}{р} г а^{'} + \int_{В} \frac{р_{б}}{р} г т^{'}

$V(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi\epsilon_{0}} \oint_{S} \frac{\sigma_{b}}{r} da' + \int_{V} \frac{\rho_{b}}{r} d\tau'$

Попытка решения я) я знаю, что $о_{б} "=" п потому что θ$ $\sigma_{b} = P \cos\theta$ $р_{б} "=" 0$ $\rho_{b}=0$

Теперь, используя закон косинусов, я нахожу, что

\tilde{р} "=" \sqrt{р^{2} + р^{2} - 2 р р потому что θ}

$\tilde{r} = \sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta}$ и, используя сферические координаты, я нахожу, что

г а^{'} "=" р^{2} грех θ г θ г ф

$da' = R^2 \sin\theta d\theta d\phi$

Итак, вот проблема: когда я пытаюсь использовать уравнение напряжения, я не могу найти правильный ответ. Я искал везде по этому вопросу, и я не могу понять, почему это

В (\vec{р}) "=" \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \frac{п потому что θ}{\sqrt{р^{2} + р^{2} - 2 р р потому что θ^{'}}} потому что θ^{'} р^{2} грех θ^{'} г θ^{'} г ф

$V(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi\epsilon_{0}} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{P \cos\theta}{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta'}} \cos\theta' R^2 \sin\theta' d\theta' d\phi$ правильно а не это

В (\vec{р}) "=" \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \frac{п потому что θ}{\sqrt{р^{2} + р^{2} - 2 р р потому что θ^{'}}} р^{2} грех θ^{'} г θ^{'} г ф

$V(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi\epsilon_{0}} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{P \cos\theta}{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta'}}R^2 \sin\theta' d\theta' d\phi$ также где

потому что θ^{'}

$\cos\theta'$ откуда и почему? ii) Во-вторых, я не понимаю, почему при интегрировании от 0 до pi нам не нужно умножать весь интеграл на число 2. Мы воспринимаем его только как полусферу, и если да, то почему? Заранее спасибо и, пожалуйста, помогите .. это меня слишком долго сбивает с толку о_О

Крис

Интеграл в

ϕ

$\phi$ от 0 до

2 π

$2\pi$ позаботится о множителе два: представьте, что интеграл в

θ

$\theta$ от 0 до

π

$\pi$ выметает полукруг, который вы затем вращаете

ϕ

$\phi$ чтобы получить полный шар.

Ответы (2)

Найдите электрическое поле равномерно поляризованного шара.

Интеграл в $\phi$ от 0 до $2\pi$ позаботится о множителе два: представьте, что интеграл в $\theta$ от 0 до $\pi$ выметает полукруг, который вы затем вращаете $\phi$ чтобы получить полный шар.

Киану Учида · Answer 1

1) Может быть, это могло бы дать вам некоторое представление. Это из 3-го издания Griffiths Electrodynamics. Я не уверен, почему решения, которые вы нашли, требуют cosθ′, но это не включает его.

2) При использовании сферических координат и попытке очертить полную сферу тета очерчивает полукруг (существующий в плоскости xz), затем фи поворачивает и проецирует этот полукруг вокруг оси z. тогда θ должно находиться в диапазоне от 0 до 2π, ϕ от 0 до 2π для всей сферы.

Матин Ульхак · Answer 2

Если вы попытаетесь найти его для любого произвольного $\vec{r} = (r, \theta)$ , вы получите следующий интеграл:

В (р, θ) "=" \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{2 π} г ф \int_{0}^{π} г θ^{'} \frac{п потому что θ^{'}}{\sqrt{р^{2} + р^{2} - 2 р р потому что (θ^{'} - θ)}} р^{2} грех θ^{'}

$V(r, \theta) = \frac{1}{4 \pi\epsilon_{0}} \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} d\theta' \frac{P \cos\theta'}{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos (\theta' - \theta)}} R^2 \sin\theta'$

Это не слишком весело вычислять вручную, поэтому учебники требуют, чтобы вы исправили $\vec r$ вдоль оси Z и установите $\theta = 0$ . Это дает следующий интеграл:

В (г) "=" \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{2 π} г ф \int_{0}^{π} г θ^{'} \frac{п потому что θ^{'}}{\sqrt{р^{2} + г^{2} - 2 р г потому что θ^{'}}} р^{2} грех θ^{'}

$V(z) = \frac{1}{4 \pi\epsilon_{0}} \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} d\theta' \frac{P \cos\theta'}{\sqrt{R^2 + z^2 - 2Rz\cos \theta'}} R^2 \sin\theta'$

Это то же самое, что Киану показывает в своем ответе.

Найдите электрическое поле равномерно поляризованного шара.

Никос Эллинакис

Крис

Ответы (2)

Киану Учида

Матин Ульхак

Полый проводник, содержащий заряд: почему внутреннее поле уравновешивается снаружи и почему поле вне полости равно нулю внутри полости?

Путаница с законом Ампера [закрыто]

Электрическое поле проводящей сферы, содержащей заряд - заземленной и незаземленной

Теорема, для которой поляризация в диэлектрическом эллипсоиде внутри однородного электрического поля постоянна

Как точечный заряд взаимодействует с гауссовой поверхностью?

Непонимание правила правого винта для магнитных полей

Почему совершается работа против электрического поля для перемещения зарядов при зарядке конденсатора?

Как выглядит и ведет себя электрическое поле, создаваемое батареей? [закрыто]

Сила в северном полушарии

Потенциал в центре кубического ящика