Не могу понять вывод релятивистской массы в Клеппнере

В главе 13 Клеппнера и Коленкова они выводят выражение для релятивистской массы, рассматривая симметричное скользящее упругое столкновение.

Он анализировался по двум системам отсчета. Один, в котором скорость A в направлении x была равна нулю, и другой, в котором скорость B в направлении x была равна нулю.

Вот как происходит вывод в книге:

Наша задача — найти сохраняющуюся величину, аналогичную классическому импульсу. Предположим, что импульс частицы, движущейся со скоростью$\mathbf{w}$является

$$\mathbf{p} = m(w) \mathbf{w}$$ где$m(w)$- скалярная величина, которую еще предстоит определить, аналогичная ньютоновской массе, но которая может зависеть от скорости$w$.

Импульс x в системе отсчета A полностью обусловлен частицей B. Перед столкновением скорость B равна$w = \sqrt{V^2 + u_0^2/\gamma^2}$а после столкновения$w' = \sqrt{V^2 + u'^2/\gamma^2}$. Введение сохранения импульса в направлении x дает

$$m(w)V = m(w')V$$ Следует, что$w=w'$, так что $$u' = u_0$$ Другими словами, в кадре A движение по оси y меняется на противоположное.

Затем мы пишем утверждение о сохранении импульса в направлении y, вычисленное в системе отсчета A. Приравнивание импульса y до и после столкновения дает

$$-m_0 u_0 + m(w) \frac{u_0}{\gamma} = m_0 u_0 - m(w) \frac{u_0}{\gamma}$$ который дает $$m(w) = \gamma m_0$$ В пределе$u_0 \rightarrow 0$,$m(u_0) \rightarrow m(0)$, которую мы принимаем за ньютоновскую массу или «массу покоя».$m_0$, частицы. В этом пределе$w = V$. Следовательно $$m(V) = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$$ Следовательно, импульс сохраняется при столкновении, если мы определим импульс частицы, движущейся со скоростью$\mathbf{v}$быть $$\mathbf{p} = m \mathbf{v}$$ где
$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma m_0$$

Теперь у меня есть несколько проблем с этим выводом. Они есть:

1. Они предположили, что и А, и В имеют одинаковую массу. Если я не ошибаюсь, уравнение импульса в$x$направление должно оставаться неизменным, так как во время столкновения импульс находится в$y$направление. Итак, предположим, что массы были другими, а именно$m_A$и$m_B(w)$. Тогда с тех пор $$m_B(w)V = m_B(w')V$$ следует, что $$u' = u_0$$ Но тогда уравнение y становится $$-m_A u_0 + m_B(w) \frac{u_0}{\gamma} = m_0 u_0 - m_B(w) \frac{u_0}{\gamma}$$ или $$m_B(w) = \gamma m_A$$ что странно, потому что масса B не должна зависеть от массы A. Лично я думаю, что их аргумент в пользу$u' = u_0$имеет недостатки. Потому что не имеет значения, отличаются ли массы A и B, но интуитивно я думаю, что должно быть. Я не понимаю, как столкновение могло бы быть упругим и симметричным, если бы две частицы не имели одинаковую массу. Потому что я всегда мог взять крайние случаи, когда один намного массивнее другого, и после их рассуждений у нас все равно было бы$u' = u_0$. Или, может быть, я неправильно понял их аргумент, и массы действительно имеют значение. Меня все это очень смущает.
2. Кажется, что при записи уравнения импульса в$y$направление, представленное автором$m(u_0)$как$m_0$в то время как в конечном уравнении они имели в виду$m_0$быть массой покоя, что имеет смысл, потому что A также двигался в направлении y в системе отсчета A, поэтому его масса не может быть просто массой покоя$m_0$. Однако, прежде чем принять предел$u_0 \rightarrow 0$,$m(u_0) \rightarrow m(0)$, уравнение для$m(w)$был $$m(w) = \frac{m(u_0)}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$$ и после принятия лимита стало $$m(V) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$$ Однако предполагается, что оба уравнения верны, и, используя окончательный результат, мы должны иметь $$m(w) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - w^2/c^2}}$$ и аналогично для A в кадре A, $$m(u_0) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - u_0^2/c^2}}$$ Подставляя это в первое уравнение $$m(w) = \frac{m(u_0)}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$$ $$= \frac{m_0}{\sqrt{(1 - V^2/c^2)(1 - u_0^2/c^2)}}$$ $$= \frac{m_0}{\sqrt{1 - (u_0^2/c^2 + V^2/c^2) + (Vu_0)^2/c^4}}$$ $$= \frac{m_0}{\sqrt{1 - w^2/c^2 + (Vu_0)^2/c^4}}$$ $$\neq \frac{m_0}{\sqrt{1 - w^2/c^2}}$$ Я, вероятно, что-то упускаю, но я не могу понять, что.