Почему мы можем выбрать для коммутации степени свободы со спином 1/2?

Кубиты не являются ни фермионными, ни бозонными, но для хранения кубитов можно использовать либо фермионные, либо бозонные степени свободы.

Понятие кубита не имеет ничего общего ни с обменной симметрией, ни с коммутаторами или антикоммутаторами, которые применяются к повышающим и понижающим операторам для квантовых полей. Вот почему кубит, qua qubit, не является ни фермионным, ни бозонным.

Термин «кубит», строго определенный, является информационной мерой. Он указывает размер гильбертова пространства. Чтобы быть точным, количество кубитов — это количество систем с двумя состояниями, которые потребуются для достоверного хранения или передачи квантовых состояний некоторой данной квантовой системы.

Ответ на дополнительный вопрос

Вопрос несколько изменился при редактировании, поэтому теперь я отвечу на новую версию вопроса. Это касается того, почему спин-$1/2$с системами можно обращаться так, как будто нам не нужно заботиться об обменной симметрии, когда они локализованы. Причина в следующем.

Возьмем два фермиона, например два электрона, и пусть они локализованы в местах$A$и$B$. В формулировке частиц (в отличие от теории поля) их совместное состояние должно быть антисимметричным по отношению к обмену метками. Так, например, это совместное состояние невозможно:

$$|\psi\rangle = |\uparrow,A\rangle_1 \otimes |\downarrow,B\rangle_2$$ но это совместное состояние возможно: $$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |\uparrow,A\rangle_1 \otimes |\downarrow,B\rangle_2 - |\uparrow,A\rangle_2 \otimes |\downarrow,B\rangle_1 \right). \tag{1}$$ Обозначения таковы, что стрелки указывают спиновое состояние, буквы А и В — пространственные состояния, а нижние индексы 1 и 2 — метки электронов.

Первое вышеприведенное состояние (невозможное) указывает, среди прочего, что электрон 1 вверху, а электрон 2 внизу, но, поскольку электроны неразличимы, о них нельзя так говорить. Второе состояние выше (возможное) не говорит о том, находится ли электрон 1 или 2 вверху или внизу, но оно говорит о том, что существует корреляция между спиновым состоянием и положением, так что спиновое состояние, наблюдаемое в точке А, будет вверх, а спиновое состояние, наблюдаемое в точке B, будет направлено вниз. Теперь, пока электроны ограничены непересекающимися местоположениями, мы всегда будем обнаруживать, что местоположения можно использовать, чтобы сказать, о каком спине мы говорим. Итак, теперь вместо того, чтобы говорить «электрон 1, электрон 2» (что было бы ошибкой), мы можем сказать «электрон А, электрон В» и использовать сокращение

$$|\psi\rangle = |\uparrow \rangle_A \otimes |\downarrow \rangle_B . \tag{2}$$ Суть такого подхода в том, что если вы рассматриваете уравнение (2) как сокращение уравнения (1), то вы обнаружите, что при вычислении внутренних продуктов все перекрестные члены, включающие$\langle A | B \rangle$исчезают, так что математика работает так же, как если бы вы действительно использовали состояния продукта, а не антисимметричные состояния. Один из способов понять это — сказать, что местоположения обеспечивают физическое свойство, которое эффективно маркирует электроны, независимо от того, какие другие метки, такие как 1 и 2, мы можем указать. Чтобы привыкнуть к этому, я рекомендую работать с полностью написанным антисимметричным состоянием в одном или двух простых примерах, и обратите внимание, что все это получается так же, как если бы вы приняли такое обозначение, как уравнение (2).

Предполагается, что кубиты в модели квантовой цепи различимы, поэтому не имеет значения, реализованы ли они с использованием бозонов или фермионов.

«Кубит — это система со спином 1/2» верно только в том смысле, что абстрактный кубит изоморфен абстрактной системе со спином 1/2, такой как электрон, ограниченный так, что он не имеет пространственных степеней свободы. Но абстрактный кубит также изоморфен состояниям поляризации фотона или любой подсистеме с двумя состояниями любой квантовой системы. Поиск хорошего представления кубитов в квантовых компьютерах — инженерная проблема. Нет фундаментальных теоретических ограничений на то, что можно использовать в качестве носителя информации.

Я не знаком с термином «бозонный кубит», но поиск в arXiv показывает, что он относится к различным методам представления кубитов в бозонных системах, которые обладают хорошими свойствами отказоустойчивости. Кубиты, хранящиеся таким образом, различимы, как того требует абстрактная вычислительная модель. Их можно различать по положению, но не обязательно; например, в принципе можно было бы хранить три кубита в числе занятий ($0$к$7$) одного квантового состояния. Неразличимость бозонов подразумевает$n!$-кратная перестановочная симметрия волновой функции в состоянии$n$, но кубиты различимы, потому что нет перестановочной симметрии двоичных цифр$n$.

Я думаю, вам нужно быть осторожным с терминологией. Ни в одной из опубликованных вами статей или цитат не используется слово «кубит».

«Кубит» — это термин, который вы часто встречаете в литературе по квантовой теории информации и который относится к любой квантовой системе с двумя состояниями. Они могут быть бозонными, фермионными или даже (в случае топологических квантовых вычислений) анионными по своей природе.

Я думаю, что вы говорите о «спиновых системах», в частности о спиновых моделях с локальными степенями свободы спин-1/2. Спин 1/2 — это кубит, так как это двухуровневая квантовая система. Но не все кубиты являются спиновыми системами.

Причина, по которой эти модели называются «бозонными», заключается главным образом в том, что локальные операторы, связанные со спиновыми системами, коммутируют на больших расстояниях, а не антикоммутируют. Как и бозоны. В некоторых областях люди говорят о системах с «бозонной локальностью» и «фермионной локальностью». Например, существует тонкая разница между бозонным и фермионным топологическими порядками. (На причудливом языке теории поля: разница между TQFT и спиновой TQFT).

Обратите внимание, что бозонные системы могут возникать из степеней свободы, которые в своей основе являются фермионными. Например, модели со спином 1/2, которые люди обычно изучают в реальной жизни, возникают в системах сильно взаимодействующих электронных систем (которые являются фермионными). Например, большой$U$предел модели Хаббарда.

Это тонкий вопрос, который трудно объяснить во всех деталях. Но обычно в физике конденсированных сред разница между бозонной и фермионной системами в основном заключается в том, коммутируют или антикоммутируют операторы, связанные с фундаментальными степенями свободы системы, на больших расстояниях. Даже если эти степени свободы не являются буквальными движущимися частицами.