Нелинейная динамика против Хаоса

Не все нелинейные системы хаотичны. Однако хаотическая система обязательно нелинейна. Не существует определения хаоса, кроме определения, данного Строгацем, ссылка 1:

Хаос — это апериодическое долговременное поведение в детерминированной системе, проявляющее чувствительную зависимость от начальных условий.

Как поясняется в тексте:

• апериодическое долговременное поведение = система никогда не установится в стабильную конфигурацию.

• детерминированный = вы исключаете возможность того, что неравномерное движение вызвано шумом или случайным входом, т. е. вы хотите, чтобы оно было связано с нелинейностью системы.

• чувствительная зависимость от начальных условий = даже если вы начнете с двух начальных условий, которые очень близки друг к другу, результат каждого из них будет сильно отличаться. Т.е. вы не можете сказать, что будет с другими (близкими) точками, если знаете, как ведет себя одна точка.

Хорошим примером является двойной стержень, см. Вики :

Анимация маятника с двумя стержнями, демонстрирующая хаотичное поведение. Запуск маятника из немного другого начального состояния привел бы к совершенно другой траектории. Маятник с двумя стержнями — одна из простейших динамических систем, имеющих хаотические решения.

С другой стороны, линейная система — это система, в которой при увеличении входных данных, например, в два раза, выходные данные также будут в два раза больше. Однако в нелинейной системе изменение входа может полностью отличаться от изменения выхода.

Однако я должен добавить оговорку: согласно Википедии, хаос возможен в линейных системах , если система бесконечномерна .

Для уточнения: хаос — это не синоним нестабильности. Возьмем, к примеру, систему

Однако хаос по своей природе непредсказуем и апериодичен, он исключает фиксированные точки и периодические решения.

Использованная литература:

1. Нелинейная динамика и хаос Стивена Х. Строгаца

Уточнения и дополнения:

Это правда, что не все нелинейные системы хаотичны, но все хаотические системы нелинейны (или бесконечномерны линейны). Чувствительность к начальным условиям является важным моментом, и комментатор поднимает хороший вопрос.

Рассмотрим систему Лоренца в режиме нехаотических параметров (или, если уж на то пошло, любую устойчивую колебательную систему): по мере того, как время приближается к чрезвычайно большим числам, мы можем быть уверены, что в конечном итоге окажемся где-то на фиксированной траектории, независимо от начальные условия (при условии, что мы начали где-то в области притяжения аттрактора). Так что это большое ограничение на то, где мы закончим.

Теперь рассмотрим систему Лоренца в режиме хаотических параметров, странный аттрактор. Что определяет ситуацию как таковую, так это тот факт, что мы не можем ограничить, где мы окажемся в конечном итоге одним и тем же образом; в хаотической системе нет окончательно фиксированной траектории.

Дополнение здесь и более математически прямой способ сказать то, что я только что сказал, состоит в том, что хаотическая система имеет по крайней мере один положительный показатель Ляпунова. Для любой динамической системы можно вычислить один показатель Ляпунова для каждого измерения системы; в системе Лоренца их три, например, для заданного режима параметров. Статья в Википедии дает ему хорошее определение, поэтому я не буду останавливаться на определении: показатель Ляпунова определяет скорость расхождения (или сходимости) траекторий системы в ее фазовом пространстве. Тогда вы можете себе представить, что для стабильного аттрактора эти траектории бесконечно сближаются по мере того, как время уходит в бесконечность. Тогда это будет отрицательный показатель Ляпунова.

Показатели Ляпунова можно вычислить только численно, но чем больше у вас есть времени, тем больше вы можете быть уверены в их значениях. Поскольку хаотическая система никогда не сходится к устойчивой траектории в фазовом пространстве, по крайней мере один показатель Ляпунова будет положительным. Наконец, все они не могут быть положительными, потому что это была бы система, которая стремится к бесконечности, когда время стремится к бесконечности, и, следовательно, не имеет никакого аттрактора.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ляпунов_экспонент

Как вы заметили, есть небольшое, но очень важное упущение. Чувствительность к начальным условиям бесконечно велика. Или лучше, скажем, два вектора из пространства состояний, моделирующих начальные условия, как бы близки они ни были, в итоге расходятся друг от друга по соответствующим траекториям.