Чем полезен компьютер, если хаотическая система чувствительна к числовым ошибкам?

Численное моделирование не всегда имеет смысл, поскольку теория хаоса относится к большому предмету теории динамических систем. Хотя определения различаются, хаос обычно возникает в трех контекстах:

1. Чувствительная зависимость от начальных условий (SDIC).
2. Множество топологически транзитивно.
3. Периодические точки плотны в множестве.

Представьте себе две частицы, имеющие некоторую траекторию. Их движение будет хаотичным, если при небольшом возмущении их положения траектории расходятся. Ваш вопрос конкретно касается числовых ошибок, что связано с критерием 1 выше. А именно, SDIC подразумевает, что функция$f$имеет SDIC, если существует какой-либо$\delta > 0$, такой, что$|f^{n}(x) - f^{n}(y)| > \delta$. Оказывается, что$\delta$на самом деле не настолько мал, чтобы большинство хороших численных решателей не могли справиться с численным моделированием. Поскольку теория хаоса встречается в большинстве динамических систем, которые обычно представляют собой связанные автономные обыкновенные дифференциальные уравнения, существует широкий спектр решателей, которые могут достаточно хорошо справиться с этой проблемой, например, решатели Рунге-Кутты, которые имеют очень небольшую численную ошибку, связанную с их.

Как я уже сказал выше, что связано со второй частью вашего вопроса, численное моделирование не всегда необходимо, большинство учебников используют его в демонстрационных целях, чтобы заинтересовать учащихся динамическими системами. Например, обычно можно показать, что динамическая система демонстрирует хаотическое движение, если основная геометрия геодезических имеет отрицательную кривизну Риччи. Это относится только к гамильтоновым системам, но всегда можно расширить негамильтонову систему до гамильтоновой системы, расширив фазовое пространство. Можно также получить всю информацию о системе и о том, проявляет ли она хаос, вычислив альфа- и омега-предельные множества, найдя будущие и прошлые аттракторы с помощью функций Ляпунова, Четаева и применив принцип инвариантности Ла Саля. Если вы хотите узнать больше об этом, книга Хирша, Смейла,

Три разных точки зрения на одно и то же:

• Хаотические системы чувствительны не только к численным ошибкам, но и к любым другим небольшим возмущениям, таким как динамический шум, который может имитировать реальные условия.

• Хотя крошечные возмущения влияют на детализированное, микроскопическое будущее системы, ее качественная динамика остается неизменной. И последнее — это то, что мы хотим исследовать, если будем моделировать хаотическую систему.

• Эффект бабочки представляет собой проблему только в том случае, если вы хотите точно предсказать будущее системы. Но это то, чего мы все равно не можем сделать в реальности из-за того, что реальность шумная.

Уместно задаться вопросом, является ли компьютерное моделирование динамической системы отражением динамического поведения реальной системы или просто артефактом ошибок округления, вызванным обязательно конечной точностью реального компьютера.

Существует важный результат, касающийся этой ситуации, называемый теоремой об отслеживании [1]. В нем говорится, что

Хотя численно вычисленная хаотическая траектория экспоненциально расходится с истинной траекторией с теми же начальными координатами, существует безошибочная траектория с немного другим начальным условием, которая остается близкой («тени») численно вычисленной.

Поэтому, когда я итерирую хаотическую динамическую систему, начиная с начального условия P , траектория, которую выдает компьютер, может не отражать реальное положение динамической системы из-за ошибок округления. Однако будет существовать начальное условие Q , такое, что реальная траектория, начинающаяся с Q , будет оставаться близкой к траектории, сгенерированной моим компьютером из P .

Это говорит мне о том, что если моя компьютерная симуляция показывает мне фрактальную структуру кривых, эта структура действительно показана реальной динамической системой в том смысле, что существуют траектории, которые затеняют траектории, показанные моим компьютером.

[1] (1993) Отт, Э. Хаос в динамических системах, издательство Кембриджского университета, страницы 18-19.