Каков физический пример бифуркации седло-узла?

Я настоятельно рекомендую книгу Стивена Х. Строгаца « Нелинейная динамика и хаос» , в которой есть несколько простых примеров всех основных бифуркаций в нескольких различных областях. Интересным в биологии является то, что светлячки синхронизируют свои вспышки света.

В качестве одномерного физического примера (для которого термин « бифуркация седла-узла» кажется немного странным, поскольку седла и узлы на самом деле являются многомерными фиксированными точками, но механизм точно такой же в одномерном пространстве), Строгац обращается к проблеме передемпфированного маятника, приводимого в движение. постоянным крутящим моментом$\Gamma$. (таким образом, маятник, погруженный в какую-либо вязкую жидкость, такую ​​как масло или мед, и подключенный к некоторому двигателю, прикладывает к нему постоянный крутящий момент) Если$L$длина маятника,$m$его масса и$\theta$угол между маятником и вертикальным направлением, то закон Ньютона дает

$$mL^2\ddot{\theta} + b\dot{\theta} + mgL\sin{\theta} = \Gamma$$

где$b$является коэффициентом вязкого демпфирования. Теперь, в пределе передемпфирования больших$b$, первым членом (членом инерции) можно пренебречь по сравнению с остальными, и мы получим уравнение

$$b\dot{\theta} + mgL\sin{\theta} = \Gamma.$$

Мы можем упростить анализ, преобразовав задачу в безразмерные переменные. Мы можем сделать это, разделив на крутящий момент. Хороший выбор здесь - разделить на$mgL$, что дает следующее дифференциальное уравнение:

$$\frac{b}{mgL}\dot{\theta} = \frac{\Gamma}{mgL} - \sin{\theta}.$$

Последующая замена$\tau = \frac{mgL}{b}$и$\gamma = \frac{\Gamma}{mgL}$дает безразмерное выражение:

$$\theta' = \gamma - \sin{\theta}$$

где$\theta' = \frac{d\theta}{d\tau}$. Теперь легко видеть, что эта система претерпевает седло-узловую бифуркацию, когда$\gamma$варьируется.

• Для$\gamma > 1$,$\theta'$никогда не равен нулю, а это означает, что маятник постоянно переворачивается, не имея вокруг неподвижных точек. Физически, поскольку$\gamma$представляет собой отношение постоянного приложенного крутящего момента к величине гравитационного крутящего момента, это означает, что гравитация никогда не сможет полностью нейтрализовать приложенный крутящий момент. Таким образом, мы не должны ожидать фиксированных точек.
• Для$\gamma = 1$,$\theta'$тождественно равен нулю для$\theta = \pi/2$, что означает наличие фиксированной точки для маятника, висящего горизонтально.
• Для$\gamma < 1$,$\theta'$имеет два нуля, симметрично расположенных вокруг$\theta = \pi/2$, что означает, что теперь есть две фиксированные точки, одна устойчивая и одна неустойчивая. Чтобы узнать, какой из них стабилен, можно рассмотреть знак$\theta'$ни в одном, но по физическим признакам уже ясно, что нижний (ниже$\pi/2$так ниже горизонтали) является стабильным. Особенно, если учесть, что произойдет, если$\gamma$снижается еще больше в сторону$0$.
• Для$\gamma = 0$,$\theta'$просто синусоидальная функция, поэтому она имеет нуль в$\theta = 0$и один в$\theta = \pi$(перевернутый маятник). Очевидно, что перевернутый маятник неустойчив, поэтому наш вывод об устойчивости неподвижных точек был верным.

Из приведенного выше анализа ясно, что бифуркация седлового узла происходит при$\gamma = 1$, где рождаются две неподвижные точки (или, что то же самое, если мы приближаемся$\gamma \rightarrow 1^-$, где устойчивая и неустойчивая неподвижные точки сталкиваются и взаимно уничтожаются).

Предположим, у вас есть маленький шарик в периодическом потенциале. Период потенциала много больше размера шара. (Вы можете видеть это как бусину на стиральной доске). Эта система находится в воде (или любой вязкой жидкости). Тогда минимумам (максимумам) соответствуют узлы (седла). Если наклонить стиральную доску, то при углах, больших некоторого порога, минимумов и максимумов уже нет. Мяч падает вдоль доски, потому что точек равновесия не существует.

Фактически любая система, эквивалентная затухающему движению частицы в потенциале определенного типа, будет иметь седло-узловую бифуркацию. Соответствующее уравнение

$${d^2 x \over dt^2} + \gamma {d x \over dt} + {d U(x, C) \over dx} = 0, \quad (1)$$ где $\gamma >0$- параметр диссипации, $C$– параметр потенциала. потенциал $U(x, C)$должно удовлетворять двум условиям. (i) Он должен иметь как минимум 2 экстремума (максимум и минимум) для некоторого диапазона $C$. (ii) При некотором значении $C$, положения максимума и минимума совпадают и исчезают.

Рассеивание «преобразовывает» центральную точку в узел (для большого рассеяния) через фокус (для малого рассеяния). В примере вода играет роль рассеивателя. Ясно, что бифуркация седло-узел тесно связана с бифуркацией седло-центр и седло-фокус.

Другой (более физический) пример - переход Джозефсона (сверхпроводник-изолятор-сверхпроводник) при постоянном токе.$I$. Соответствующее уравнение (в безразмерной форме) имеет вид

$${d^2 \phi \over dt^2} + \gamma {d \phi \over dt} + \sin(\phi) = I, \quad (2)$$ где $\phi$– разность квантовых фаз двух СК. Соответствующий потенциал равен $U(x,I)= 1 - \cos(\phi) -I \phi$. Для некоторого значения I в уравнении (2) происходит бифуркация седло-узла.