Хаос предсказуем?

Я читаю книгу по вычислительной физике [1], где подробно изучается управляемый нелинейный маятник. Это уравнение, полученное в книге:

г 2 θ г т 2 знак равно − грамм л грех ⁡ θ − д г θ г т + Ф г грех ⁡ ( Ом г т )

Авторы знают, при каких условиях маятник переходит в хаотический режим, вероятно, потому, что они использовали предыдущую литературу или потому, что они численно экспериментировали с этой системой.

Глядя на ОДУ, можно ли предсказать наличие хаотического поведения? Если да, то можно качественно узнать, как должны быть настроены параметры, чтобы обнаружить это хаотическое поведение?

[1] Вычислительная физика , Н. Дж. Джордано и Х. Наканиши, второе издание, Pearson Prentice Hall, 2006 г.

См. здесь некоторые примеры применения обычных методов нелинейной динамики к этой системе.
@poorsod Спасибо за ссылку: кажется (те же графики) книга, которую я использовал. Однако мой вопрос был гораздо более общим: можем ли мы сказать, что система скрывает хаотичное поведение только при просмотре ОДУ?
@RM Я написал полный ответ .

Ответы (2)

В общем, нет. Можно распознать (систему) дифференциальных уравнений как нелинейную только путем проверки, но существует множество нехаотических нелинейных систем. Хаос — более сильное (и, к сожалению, не вполне определенное) состояние.

Кроме того, многие (большинство?) систем, включая знаменитый аттрактор Лоренца , демонстрируют хаос только при определенных условиях. Например, аттрактор Лоренца подвергается бифуркации в точке р знак равно 1 ; за р < 1 начало координат является устойчивым аттрактором . Вы не можете сказать, есть ли бифуркация или в какой области система хаотична, просто взглянув на форму уравнений, потому что одни и те же уравнения могут описывать как нехаотическое, так и хаотическое решение.

В каком физическом состоянии находится р < 1 состояние соответствует? Это граница между вращением одного тела и вращением обоих?
В наши дни систему Лоренца часто изучают «абстрактно», то есть без обращения к параметрам. р , б а также о любой физической системе. Однако Лоренц разработал уравнения как игрушечную модель конвекции жидкости в коробке. В этой интерпретации, р - число Рэлея жидкости (как отношение критического числа Рэлея: р знак равно Ра / Ра с р я т ). Так р < 1 соответствует Ра < Ра с р я т - т.е. без конвекции.
Обратите внимание, что в этой интерпретации модели Лоренца Икс , у а также г не относятся к пространственным координатам. Это параметры, связанные с динамическими свойствами конвекции, такими как профили температуры и скорости.
Даже если я понимаю вашу точку зрения, Хаос хорошо определен, и первое предложение может ввести в заблуждение...
Есть еще одна замечательная цитата, источник которой я не могу найти. Она звучит примерно так: «Хаос похож на взгляд судьи Стюарта на порнографию — вы узнаете это, когда увидите».
Тем не менее утверждение о том, что хаос не имеет четкого определения , вводит в заблуждение, поскольку отодвигает его в область модных словечек. Дело в том, что существует множество определений, каждое из которых является точным для себя, даже если ученые не согласны ни с одним из них. Также утверждение, что «многие системы (...) проявляют хаос только при определенных условиях», вводит в заблуждение, поскольку изменение параметров р означает изменение системы. Так что дополнительных условий нет, решение детерминированной системы при заданном начальном условии либо хаотично, либо нет.
@BenjaminHodgson Дорогой Бен, +1 за краткий и лаконичный ответ. Похоже, вы неплохо разбираетесь в "теории хаоса", этот недавний пост может вас заинтересовать! физика.stackexchange.com/questions/141772/…

Ответ — однозначное нет. Во-первых, нелинейные ОДУ могут не иметь решения при некоторых начальных условиях или, наоборот, иметь несколько решений. Для единственности и существования необходимо, чтобы производная была непрерывной, что может быть неочевидно на первый взгляд для систем из нескольких нелинейных ОДУ.

Раз единственность и существование оправданы, в хаотических системах всегда есть параметры управления. Данная нелинейная система ОДУ будет иметь простые или сложные, но не хаотические решения для диапазона управляющих параметров и может иметь хаотические решения для другого диапазона управляющих параметров.

Логистическое уравнение, даже если оно не является ОДУ (X(n+1) = µ.Xn.(1-Xn)) будет хаотично вести себя только для некоторых значений µ. Не существует известного общего и простого правила, позволяющего узнать, существует ли для данной нелинейной системы ОДУ набор значений управляющих параметров, при которых решения хаотичны.

Однако с физической точки зрения это несколько проще. Хаотические орбиты в физике обладают двумя свойствами — экспоненциальной расходимостью (называемой чувствительностью к начальным условиям) и диссипацией, которая гарантирует, что орбиты не взорвутся до бесконечности. Топологически это выглядит как «растяжение» и «складывание» фазового пространства. Итак, если вы возьмете вынужденную систему, которая будет диссипативной, И ее уравнения движения будут нелинейными, то у вас будет хороший шанс найти хаотические режимы.

Случай гамильтонова хаоса (гравитационная проблема N тел) отличается тем, что он включает не растяжение и складывание, а орбитальную нестабильность на торе.

Помимо этих двух случаев, когда можно искать хаотические решения, есть, конечно, область УЧП, которая приводит к пространственно-временным хаотическим решениям (в отличие от простого временного хаоса в случае ОДУ).

Даже если вопрос не касался PDE, очевидно, что и для них ответ будет отрицательным, даже если хаотическое поведение чаще встречается в пространственно-временной, чем во временной области.

Хаос предсказуем?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v