3D дельта потенциальная скважина

Поскольку энергетический спектр не зависит от абсолютного положения$\vec{r}=\vec{a}$дельта-потенциала, можно предположить, что$\vec{a}=\vec{0}$. Следовательно, в своей текущей формулировке (v1) OP фактически говорит, что

Привлекательный одномерный дельта-потенциал$V(x) = -A\delta(x)$,$A>0$, имеет ровно одно связанное состояние. То же самое верно и для трехмерного дельта-потенциала.$V(\vec{r}) = -A\delta^3(\vec{r})$.

Нет, голый трехмерный дельта-потенциал не представляет собой хорошо поставленную математическую задачу без какой-либо регуляризации/перенормировки, см., например, Ref. 1 и ссылка. 2. Затравочный спектр имеет бесконечно много связанных состояний и не ограничен снизу.

Последнее может быть строго доказано, например, с помощью вариационного метода . Доказательство: рассмотрим нормализованную гауссовскую тестовую/пробную волновую функцию .

$$\psi(r)~=~Ne^{-\frac{r^2}{2L^2}}~=~Ne^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{2L^2}}, \qquad \int d^3r~|\psi(r)|^2 ~=~\langle\psi|\psi \rangle~=~1,$$

куда$N,L>0$две константы. По размерным соображениям постоянная$L$должен иметь размерность длины и$1/N^2$должен иметь размерность объема. Это следует из того

1. Константа нормализации$N$должен масштабироваться как

   $$N ~\propto~ L^{-\frac{3}{2}}.$$

2. Ожидаемое значение$\langle\psi| K|\psi \rangle$оператора кинетической энергии$K=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$должен масштабироваться как

   $$0~\leq~\langle\psi| K|\psi \rangle ~\propto~ L^{-2},$$ в основном потому, что лапласиан$\Delta=\vec{\nabla}^2$содержит две позиционные производные.

3. Ожидаемое значение$\langle\psi| V|\psi \rangle$потенциальной энергии$V=-A\delta^3(\vec{r})$должен масштабироваться как

   $$0~\geq~\langle\psi|V|\psi \rangle~=~-AN^2~\propto~ -L^{-3}.$$

Таким образом, выбрав$L\to 0^{+}$все меньше и меньше, отрицательная потенциальная энергия$\langle\psi| V|\psi \rangle\leq 0$превосходит положительную кинетическую энергию$\langle\psi| K|\psi \rangle\geq 0$, так что средняя энергия$\langle\psi| H|\psi \rangle$становится все более негативным,

$$\langle\psi| H|\psi \rangle ~=~\langle\psi| K|\psi \rangle + \langle\psi| V|\psi \rangle ~\to~ -\infty \qquad \text{for}\qquad L\to 0^{+}.$$

Следовательно, спектр не ограничен снизу.

--

Использованная литература:

1. С. Гельтман, Связанные состояния в потенциалах дельта-функции, Журнал атомной, молекулярной и оптической физики, том 2011 г., идентификатор статьи 573179 .

2. Р. Дж. Хендерсон и С. Г. Раджив, Перенормированный интеграл по траекториям в квантовой механике, arXiv:hep-th/9609109 .