Неопределенность в повторяющихся измерениях

В общем, всегда следует использовать все доступные данные, чтобы делать выводы. Если вам так повезло, что у вас есть границы неопределенности для ваших повторных измерений, это означает, что эти неопределенности также являются своего рода данными, и в идеале их следует использовать для уточнения заключения.

Что бы я сделал, так это использовал взвешенный метод: если мы предполагаем, что шум и неопределенность являются гауссовыми, то точкам с низкой неопределенностью следует присвоить больший вес, чем точкам с большей неопределенностью. См. этот вопрос и ответ на него . В этом случае мы хотим максимизировать логарифмическую вероятность$\log(l) = c - (1/2)\sum_i (y_i - \mu)^2/\sigma_i^2$где$a$искомое среднее и$\sigma_i$неопределенность для каждой из точек данных. Производная$-\sum_i (y_i-\mu)/\sigma_i^2$что равно нулю для взвешенного среднего

Но учтите, что многое зависит от модели, которую вы используете. Неопределенности не обязательно должны быть гауссовыми.

Здесь нужно быть осторожным. Предположим, что данные, которые вы сообщаете в своем вопросе, представляют собой средние значения и стандартные отклонения средних значений для серии случайных выборок. То есть,$1.510 \pm 0.085$это среднее$\pm$стандартное отклонение среднего значения для одного образца, состоящего из ряда отдельных измерений, 1,608±0,089 — среднее значение ± стандартное отклонение среднего значения для другого образца, состоящего из ряда отдельных измерений, и т. д.

Рассмотрим ряд$i = 1, 2, ...,k$случайные выборки, т.$i^{th}$образец, состоящий из$n_i$конкретные значения для интересующей случайной переменной. Каждая выборка может иметь разное количество конкретных значений. Для каждого образца вы оцениваете и сообщаете среднее значение и стандартное отклонение среднего значения. Среднее значение$i^{th}$образец$m_i = {1 \over n_{i}} \sum_{j}^{n_i} y_{ji}$где$y_{ji}$это$j^{th}$значение в$i^{th}$образец. Стандартное отклонение среднего для$i^{th}$образец$S_i = \sqrt{s_i^2 \over n_i}$где$s_i = \sqrt{{\sum_{j}^{n_i} (y_{ji} - m_i)^2} \over {n_i - 1} }$является стандартным отклонением для$i^{th}$образец.

Наилучшей оценкой среднего является$m_{best} = {\sum_{i = 1}^{k} m_i/S_i^2 \over \sum_{i = 1}^{k} {1 \over S_i^2}}$и наилучшая оценка стандартного отклонения среднего$S_{best} = ({\sum_{i = 1}^{k} {1 \over S_i^2}})^{-1/2}$. Вы сообщаете$m_{best} \pm S_{best}$для вашего конечного результата.

Примечание. Примерные значения означают$m_{best}$и стандартное отклонение$S_{best}$являются наилучшей оценкой неизвестных средних значений генеральной совокупности$\mu$и стандартное отклонение среднего$\sigma_{\mu}$.

(Например, подробности см. в тексте «Анализ данных для ученых и инженеров» Мейера.)

Андерс С уже дал вам очень хороший ответ, но я хочу показать вам, где вы ошиблись в своих рассуждениях.

Я вычисляю sd, используя формулу распространения ошибок, где$Q = A+B$, затем$dQ = (dA^2 +dB^2)^{1/2}$, и я суммирую в квадратуре все 5 ошибок, указанных выше, и получаю значение$1.596 \pm 0.168$, значительно больше по сравнению со случаем 1;

Это вычисляет ошибку в сумме ваших измерений. С помощью этого метода вы получаете, что сумма ваших измерений равна$7.982 \pm 0.168$.

Но чтобы получить среднее значение, вы взяли эту сумму, а затем разделили на количество измерений . Поскольку количество измерений является точным числом без неопределенности, вы можете получить ошибку в среднем, разделив ошибку в сумме на то же число.

Так что у вас должно быть$1.596 \pm 0.036$этим методом, а не$\pm 0.168$. И вы бы улучшили свою ошибку по сравнению с одним измерением.

Однако, используя метод Андерса, вы получите еще меньшую ошибку.

Если ваши измерения нормально распределены (и систематическими погрешностями можно пренебречь), вы можете использовать среднее значение значений и стандартное отклонение среднего (SDOM) в качестве окончательной неопределенности. Это просто

В книге Джона Тейлора «Введение в анализ ошибок» это описывается как «неопределенность в нашей наилучшей оценке x (а именно$\overline x$) является... SDOM" с учетом вышеуказанных условий.