Реальны ли неопределенности выше измеренных значений?

Обычны неопределенности, превышающие измеренные значения. Особенно в измерениях, где ожидается, что значение будет (близко) к нулю. Например, значения массы нейтрино.

В группе данных о частицах они указаны как меньшие некоторого значения с доверительной вероятностью 90 %. Но я видел документы, где$m^2$было задано как отрицательное число с оценочными ошибками, меньшими, чем значение.

Для случаев, когда значение также может быть отрицательным, симметричные стандартные отклонения, превышающие значение, вообще не проблема. Как и разница между$g$-значения электрона и позитрона, или электрический дипольный момент электрона.

Действительно, такие большие неопределенности не имеют смысла.

На самом деле у нас есть некоторое распределение вероятностей для описываемого нами параметра. Неопределенность — это попытка описать это распределение двумя числами, обычно средним значением и стандартным отклонением.

Это полезно только в том случае, если неопределенности малы, потому что часто вы в конечном итоге будете объединять множество неопределенностей одинакового размера вместе (например, путем усреднения), и центральная предельная теорема сработает, делая ваше окончательное распределение очень близким к гауссовскому. Среднее значение и стандартное отклонение этой гауссианы зависят только от средних значений и стандартных отклонений частей; вся остальная информация не имеет значения.

Но если вы смотрите только на одну величину с очень широким распределением, просто знание стандартного отклонения просто бесполезно. В этот момент, вероятно, лучше вместо этого указать 95% доверительный интервал. Конечно, нижняя часть этого интервала никогда не будет отрицательной для физического тома.

Вы не можете сказать, «имеет ли это смысл» без полных деталей эксперимента. Но во многих случаях данные по-прежнему полезны и важны.

Например, вы теоретизируете значение$x$быть около 100. Итак, вы планируете эксперимент, чтобы измерить$x$около 100$\pm$10, с неопределенностью в том, что вы можете себе позволить, что позволяют современные технологии, что может сделать ускоритель частиц стоимостью в несколько миллиардов долларов.

Если окажется, что истинное значение$x$на самом деле 1, то вы, вероятно, получите экспериментальный результат$1 \pm 10$. Это не означает, что произошла ошибка или измерение недействительно, это просто то, что произошло.

Данные все еще полезны? Да! Теперь вы ограничены$x$быть меньше 11. Вы должны опубликовать это, чтобы будущие эксперименты были предназначены для измерения нижнего диапазона, вместо того, чтобы оглядываться по сторонам.$100$.

Вы также показали, что существует проблема с теорией, и ее необходимо изменить, чтобы она давала значение меньше 11, а не 100. Это может, например, поддержать конкурирующую теорию или побудить других идентифицировать ошибки или недостатки в существующей теории.

Что-то, что имеет экспоненциальное распределение (положительное) с ожидаемым значением$\mu$также имеет стандартное отклонение$\mu$- существуют другие распределения положительных значений, где стандартное отклонение может во много раз превышать размер ожидаемого значения.

По смутному воспоминанию о нормальном распределении можно наивно подумать, что может быть примерно$95\%$вероятность того, что наблюдение этого будет в диапазоне$\mu \pm 2 \mu$. В общем случае это неверный подход, но в данном частном случае вы окажетесь правы; точнее это вероятность наблюдения ниже$3\mu$, который$1-e^{-3} \approx 0.9502$

Ошибка, если таковая имеется, состоит в том, что считается, что интервал неопределенности всегда должен быть симметричным относительно центрального значения.

Если ваши экстраполированные результаты имеют неопределенность более 100%, что возможно, это просто означает, что либо данные вашей выборки нерепрезентативны для генеральной совокупности, либо ваша экстраполяция неверна. В зависимости от вашего эксперимента линейная экстраполяция может привести к совершенно неверным результатам.

Я не уверен, что вы подразумеваете под «принуждением», но такая высокая неопределенность должна сказать вам, что что-то, вероятно, не так. Имеет смысл выбрать точку отсечения для вашей неопределенности, если это то, что вы подразумеваете под «принуждением», но ваша первая стратегия, вероятно, должна состоять в том, чтобы посмотреть, как вы экстраполируете.

Неопределенность, превышающая значение известного положительного значения, имеет смысл в контексте негауссовского доверия.

Если это первое предложение было ясным, вы можете прекратить чтение. Если нет, позвольте мне вернуться. Когда мы говорим о «неопределенности», здесь нет четкой границы. Для любого заданного диапазона мы можем выразить вероятность того, что значение находится в этом диапазоне, основываясь на том, что нам известно. Эта вероятность представляет собой интеграл в диапазоне нашего «доверия» или «функции плотности вероятности» (кратко «PDF»). Вы можете думать об этой функции как о вероятности, которую мы присваиваем каждому возможному значению, умноженной на бесконечность таким образом, что ее интеграл равен единице (где-то математик вздрогнул).

Очень часто наше доверие является гауссовым, и в этом случае мы можем описать его двумя параметрами: средним значением и стандартным отклонением. Среднее также является ожидаемым значением и значением максимального правдоподобия, поэтому оно дает отличную точечную оценку. Затем мы можем назвать стандартное отклонение «неопределенностью».

Если доверие не является гауссовым, как здесь, то нам нужно описать его немного более подробно.