Неправильное определение матричных элементов оператора в формализме интеграла по путям?

Question

Неправильное определение матричных элементов оператора в формализме интеграла по путям?

Квантовый шепот

В книге Дайсона «Квантовая теория поля» в разделе, посвященном принципу действия Швингера, он вводит метод интеграла по путям Фейнмана для получения амплитуд перехода:

⟨ ф_{2}, т_{2} | ф_{1}, т_{1} ⟩ "=" Σ_{ЧАС} Н е^{\frac{я}{ℏ} я_{ЧАС}}

$\langle \phi_2, t_2 | \phi_1, t_1 \rangle = \Sigma_H N e^{\frac{i}{\hbar}I_H}$ H — классический путь

ϕ (t)

$\phi(t)$ начиная с

t_{1}

$t_1$ со значением

ϕ_{1}

$\phi_1$ и заканчивается в

t_{2}

$t_2$ со значением

ϕ_{2}

$\phi_2$ . Сумма проходит по всем классическим путям, удовлетворяющим этим требованиям, и

N

$N$ является нормирующим фактором.

Здесь, $\langle \phi_2, t_2 |$ должно быть собственным состоянием оператора поля $\hat{\phi}(t_2)$ с собственным значением $\phi_2$ в пространстве, подобном плоскости, в 4-мерном пространстве-времени для простоты я выбираю плоскость с $x^0 = t_2$ , так и написал $t_2$ для простоты.

Таким же образом $| \phi_1, t_1 \rangle$ является собственным состоянием во времени $t_1$ (По "собственному состоянию в $t_1$ ", я хочу выразить, что это собственное состояние оператора в $t_1$ , поэтому оператор $\hat{\phi}(t_1)$ ). Обратите внимание, что поскольку оператор может измениться во времени, $\langle \phi_1, t_1 | \phi_1, t_2 \rangle$ не обязательно 1.

Я предполагаю, что он работает здесь с картиной Гейзенберга, потому что, если бы это было не так, между двумя состояниями должен был бы быть оператор временной эволюции, которого, по-видимому, там нет.

После этого Дайсон вводит матричные элементы в качестве дополнительного предположения:

⟨ ф_{2}, т_{2} | \hat{о} (т) | ф_{1}, т_{1} ⟩ "=" Σ_{ЧАС} Н О [ф_{ЧАС} (т)] е^{\frac{я}{ℏ} я_{ЧАС}}

$\langle \phi_2, t_2 | \hat{o}(t)|\phi_1, t_1 \rangle = \Sigma_H N O[\phi_H(t)] e^{\frac{i}{\hbar}I_H}$ Где

O [ϕ_{H} (t)]

$O[\phi_H(t)]$ классическая наблюдаемая, оцененная во времени

t

$t$ по значению поля

ϕ_{H} (t)

$\phi_H(t)$ .

Мой вопрос: Могу ли я вывести эту формулу из первой приведенной формулы, которая имеет дело исключительно с амплитудами переходов состояний?

Я пытался сделать это, но в какой-то момент всегда терпел неудачу: я предполагаю полноту собственных векторов ${ |\phi_i \rangle }$ расширить $\mathbb{1}$ оператора и введите его

\begin{array}{ccl} ⟨ ф_{2}, т_{2} | \hat{о} (т) | ф_{1}, т_{1} ⟩ & "=" & ⟨ ф_{2}, т_{2} | 1 \hat{о} (т) 1 | ф_{1}, т_{1} ⟩ \\ "=" & Σ_{я, Дж} ⟨ ф_{2}, т_{2} | ф_{я}, т ⟩ ⟨ ф_{я}, т | \hat{о} (т) | ф_{Дж}, т ⟩ ⟨ ф_{Дж}, т | ф_{1}, т_{1} ⟩ \\ "=" & Σ_{я, Дж} ⟨ ф_{я}, т | \hat{о} (т) | ф_{Дж}, т ⟩ Σ_{{ЧАС}_{1}} Н_{1} е^{\frac{я}{ℏ} я_{{ЧАС}_{1}}} Σ_{{ЧАС}_{2}} Н_{2} е^{\frac{я}{ℏ} я_{{ЧАС}_{2}}} \end{array}

$\begin{array}{ccl} \langle \phi_2, t_2 | \hat{o}(t)|\phi_1, t_1 \rangle & = & \langle \phi_2, t_2 | \mathbb{1} \hat{o}(t) \mathbb{1} |\phi_1, t_1 \rangle \\ & = & \Sigma_{i,j} \langle \phi_2, t_2 |\phi_i, t \rangle \langle \phi_i, t | \hat{o}(t) |\phi_j, t \rangle \langle \phi_j, t |\phi_1, t_1 \rangle \\ & = & \Sigma_{i,j} \langle \phi_i, t | \hat{o}(t) |\phi_j, t \rangle \ \Sigma_{H_1} N_1 e^{\frac{i}{\hbar}I_{H_1}} \Sigma_{H_2} N_2 e^{\frac{i}{\hbar}I_{H_2}} \end{array}$ Здесь

H_{1}

$H_1$ это путь, который начинается во времени

t_{1}

$t_1$ со значением

ϕ_{1}

$\phi_1$ , и заканчивается во время

t

$t$ со значением

ϕ_{j}

$\phi_j$ , то же самое касается

H_{2}

$H_2$ . Если

| ϕ_{i} ⟩

${ |\phi_i \rangle }$ будет набором собственных векторов оператора

\hat{O}

$\hat{O}$ , я бы сделал:

Σ_{я} ⟨ ф_{я}, т | \hat{о} (т) | ф_{я}, т ⟩ Σ_{{ЧАС}_{1}} Н_{1} е^{\frac{я}{ℏ} (я_{{ЧАС}_{1}} + я_{{ЧАС}_{2}})} Σ_{{ЧАС}_{2}} Н_{2} "=" Σ_{ЧАС} Н О [ф_{ЧАС} (т)] е^{\frac{я}{ℏ} я_{ЧАС}}

$\Sigma_{i} \langle \phi_i, t | \hat{o}(t) |\phi_i, t \rangle \ \Sigma_{H_1} N_1 e^{\frac{i}{\hbar}(I_{H_1}+I_{H_2})} \Sigma_{H_2} N_2 =\Sigma_H N O[\phi_H(t)] e^{\frac{i}{\hbar}I_H}$ Где я это использовал

I_{H_{1}} + I_{H_{2}} = I_{H}

$I_{H_1} + I_{H_2} = I_H$ , если

H_{1}

$H_1$ заканчивается в

ϕ_{i}

$\phi_i$ и

H_{2}

$H_2$ начинается в

ϕ_{i}

$\phi_i$ , и я предположил

⟨ ϕ_{i}, t | \hat{o} (t) | ϕ_{i}, t ⟩ = O [ϕ_{H} (t)]

$\langle \phi_i, t | \hat{o}(t) |\phi_i, t \rangle = O[\phi_H(t)]$ .

Однако мне не удается вывести это уравнение, если состояния не являются собственными векторами $\hat{O}$ , отсюда и вопрос.

Ответы (1)

Неправильное определение матричных элементов оператора в формализме интеграла по путям?

Давид Бар Моше · Answer 1

Поля $\phi^{\alpha}$ фигурирующие в книге Дайсона, описывают канонические координаты, соответствующие квантовые операторы которых коммутируют по определению в одинаковое время:

[{\hat{ф}}^{α} (р_{1}, т), {\hat{ф}}^{β} (р_{2}, т)] "=" 0

$[\hat{\phi}^{\alpha}(r_1, t), \hat{\phi}^{\beta}(r_2, t)] = 0$ Операторы

\hat{O}

$\hat{O}$ недиагональные в координатном базисе обязательно должны быть функциями как канонических координат, так и канонических импульсов:

{\hat{π}}_{α} (r, t)

$\hat{\pi}_{\alpha}(r, t)$

Чтобы вычислить матричные элементы такого рода операторов, почти неизбежно использовать интегралы по путям в фазовом пространстве, которые являются более общими, чем интегралы по путям в координатном пространстве конфигураций.

Этот тип интегралов по путям не очень популярен в квантовой теории поля, где интересные операторы $\hat{O}$ обычно являются полиномами от полевых переменных, то есть диагональными в конфигурационном пространстве теории поля. Кроме того, и конфигурационное, и фазовое пространства в этом случае бесконечномерны, что еще больше усложняет задачу.

Однако в квантовой механике существует достаточно развитая теория интегрирования траекторий в фазовом пространстве. Позвольте мне использовать здесь символы $q^{\alpha}$ и $p^{\beta}$ для канонических координат и импульсов, как это принято в квантовой механике.

Итак, проблема, которую я буду решать, — это вычисление матричного элемента оператора, зависящего как от канонических координат, так и от канонических импульсов между различными собственными состояниями временной координаты. Этот оператор, конечно, недиагональный в координатном базисе.

Поскольку существует много квантовых операторов, которые соответствуют одной и той же классической функции в фазовом пространстве, интегрирование, вообще говоря, не может быть выполнено на операторе простой заменой канонических операторов соответствующими функциями в фазовом пространстве. Во-вторых, результат будет зависеть от метода дискретизации континуального интеграла при вычислении матричного элемента.

Оказывается, что решения обеих описанных выше задач связаны, т. е. существуют схемы упорядочения операторов и соответствующие им схемы дискретизации, для которых вычисление матричного элемента с помощью континуального интеграла будет корректным. См. следующий тезис Валтакоски, где эта проблема подробно анализируется. Например, если мы используем порядок Вейля и дискретизируем интеграл по путям в средних точках, мы получаем правильные результаты (таблица 3.2 в диссертации).

Ответ на дополнительный вопрос

Напротив, проблема упорядочения существует, и в квантовой теории поля она намного сложнее. Я лишь констатировал, что обычно людей больше интересуют матричные элементы полевых конфигураций. Я предпочел рассматривать квантово-механические интегралы по путям, потому что существуют строгие результаты, и результат интеграла по путям можно сравнить с другими методами, такими как каноническое квантование.

В квантовой теории поля, когда операторы зависят от конфигураций полей и их импульсов, на результаты влияют схемы упорядочения и дискретизации операторов; и в целом проблема может быть намного сложнее из-за бесконечной размерности фазового пространства, а также из-за отсутствия других методов квантования для сравнения.

В данном примере: производная $\partial_{\mu}\phi$ , производная по времени: $\partial_{0}\phi$ не коммутирует в равные моменты времени с конфигурациями полей (в отличие от пространственных производных $\partial_{1,2,3}\phi$ которые ездят на работу). Для операторов, содержащих эту производную, все еще можно использовать схему упорядочения Вейля и дискретизацию средней точки, потому что фазовое пространство скалярного поля, хотя и бесконечномерное, может быть проквантовано в соответствии с правилами канонического квантования.

Когда в теории есть фермионы, то уже комплексно-сопряженные спиноры не коммутируют в равные моменты времени с фермионными конфигурациями. Здесь необходимо упорядочение фермионных операторов и правила фермионной дискретизации для правильной оценки интеграла по траекториям, см. обзор Bastianelli and van Nieuwenhuizen .

Для калибровочных полей проблема еще сложнее, потому что их фазовое пространство не является плоским из-за ограничений, и я не думаю, что вообще существуют какие-либо строгие результаты об упорядочении и дискретизации.

Наконец, обратите внимание, что наивная замена недиагонального оператора классическим символом в интеграле по траекториям почти наверняка приведет к результатам, правильным только в полуклассическом смысле, поскольку упорядочение вносит ошибки порядка $\hbar$ из-за ненулевых коммутаторов.

Я не совсем понимаю, почему в QFT нет Проблем, так как в QFT, поскольку интересные операторы в большинстве случаев содержат не только переменные поля, но и их «производные» $\widehat{\partial_\mu \phi}$ . Являются ли они также диагональными в «полевой переменной-основе»?
@Quantumwhisp Я добавил ответ в основной текст на ваш дополнительный вопрос

Неправильное определение матричных элементов оператора в формализме интеграла по путям?

Квантовый шепот

Ответы (1)

Давид Бар Моше

Квантовый шепот

Давид Бар Моше

В каком смысле интеграл по траекториям является независимой формулировкой квантовой механики/теории поля?

Гамильтониан в путевом интеграле КМ/КТП является преобразованием Вигнера (символом Вейля)? оператора Гамильтона?

Интеграл по путям в QM против QFT

Почему подход интеграла по путям может страдать от проблемы порядка операторов?

Об асимптотике взаимодействующих корреляционных функций

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП

Преобразование Лоренца, реализуемое неунитарным оператором.

Интеграл по траекториям в евклидовой теории поля

Как именно определяется «нормальный порядок оператора»?

Парадокс в выводе континуального интеграла квантовых полей