Что гарантирует существование унитарных операторов, реализующих преобразования Лоренца?

Это должен быть очень простой вопрос. Во вводных книгах по КТП часто одной из первых вещей, которые мы видим, является следующее утверждение: для каждого преобразования Лоренца Λ , мы можем связать унитарный оператор U ( Λ ) так что:

U ( Λ ) − 1 ф ( Икс ) U ( Λ ) "=" ф ( Λ − 1 Икс )
И мы также требуем, чтобы это был гомоморфизм, U ( А ) U ( Б ) "=" U ( А Б ) .

Где, конечно, ф является операторнозначным квантовым полем.

Я хочу знать, что гарантирует существование отображений U которые удовлетворяют этим условиям.

Кажется, что должна быть возможность выбрать поле оператора ф такое, что нет такого набора операторов U ( Λ ) существовать. Есть ли существование U задано каким-то требованием к квантовым полям, или я что-то упустил?

Ответы (2)

Ваше последнее предложение отвечает на ваш вопрос.

Мы наблюдаем симметрию Лоренца в законах природы. Поэтому мы требуем, чтобы строительные блоки нашей теории преобразовывались в определенные представления группы Лоренца (точнее, Пуанкаре).

Если бы вы допустили поля, не являющиеся представлениями группы Лоренца, было бы чрезвычайно сложно построить теорию, которая выглядела бы лоренц-инвариантной.

Так правильно ли говорить, что кандидаты в операторные поля, которые физически соответствуют квантовым полям, зависят от выбранного нами представления SO(3;1)? Тогда зависит ли размер этого набора квантовых полей (кандидатов) от выбора представления?
Да и да. Существует мощный способ переписать алгебру Лоренца, чтобы конструктивно определить все ее неприводимые представления . Выбор представлений ограничен тем, что мы не знаем, как записать нетривиально взаимодействующую теорию спинов С ≥ 2 . Для нижних спинов теоретически существуют все представления, в первую очередь супергравитация требует, чтобы они все существовали.

Я утверждаю, что

В любой релятивистской квантовой теории преобразования состояний Лоренца должны быть реализованы как проективное унитарное представление группы Лоренца, действующей на гильбертовом пространстве теории.

Вот логика:

  1. В любой релятивистской теории наблюдения за пространственно-временными событиями инерциальных наблюдателей связаны преобразованиями Лоренца.

  2. Мы спрашиваем себя, как наблюдения квантовых состояний , а именно элементов некоторого гильбертова пространства ЧАС которые моделируют некую квантовую систему, связаны разные инерциальные наблюдатели. С математической точки зрения, для каждого преобразования Лоренца Λ , мы хотели бы связать функцию ф Λ : ЧАС → ЧАС такой, что если | ψ ⟩ - состояние, измеряемое одним инерциальным наблюдателем, то ф Λ | ψ ⟩ это состояние, измеряемое инерциальным наблюдателем, чьи пространственно-временные наблюдения связаны с первым преобразованием Лоренца Λ .

  3. Мы замечаем, что все ф Λ то есть он должен сохранять квантово-механические вероятности перехода. Другими словами, для каждого Λ , ф Λ должна быть симметрией в общем квантово-механическом смысле, определяемой сохранением вероятностей перехода.

  4. Напомним, что теорема Вигнера гарантирует, что любая такая симметрия может быть представлена ​​унитарным или антиунитарным оператором с точностью до фазы.

  5. Мы утверждаем, что нет ф Λ может быть антиунитарным (на самом деле я забыл обычный аргумент для этого, возможно, вы можете попытаться заполнить эту деталь раньше, чем я). Поэтому мы используем обозначение ф Λ "=" U ( Λ ) вместо того, чтобы подчеркнуть это.

  6. Рассмотрим трех инерциальных наблюдателей А , Б , и С . Мы позволим Λ я Дж быть преобразованием Лоренца, которое связывает пространственно-временные измерения наблюдателя Дж тем из я , так, например, Λ А Б это преобразование Лоренца, связывающее пространственно-временное наблюдение наблюдателя Б тем из А .

  7. Отметим, что измерения состояния наблюдателей А и С связаны U ( Λ А С ) . Более того, мы ожидаем, что если мы преобразуем измерения состояния наблюдателя А тем из Б с U ( Λ А Б ) , а затем преобразовать эти измерения в измерения С с U ( Λ Б С ) , то мы должны получить тот же ответ до фазы (т. е. физически эквивалентного состояния), а именно

    U ( Λ А С ) "=" с ( Λ Б С , Λ А Б ) U ( Λ Б С ) U ( Λ А Б ) .
    где часть «до фазы» исходит из того факта, что состояния, отличающиеся фазой, физически эквивалентны в квантовой механике. Но теперь отметим, что Λ А С "=" Λ Б С Λ А Б , поэтому мы получаем свойство гомоморфизма с точностью до фазы
    U ( Λ Б С Λ А Б ) "=" с ( Λ Б С , Λ А Б ) U ( Λ Б С ) U ( Λ А Б )
    и поэтому мы закончили.

  8. Связанный пост (чтобы лучше понять «проективную» часть): Идея покрывающей группы

Спасибо, но я думаю, что вы упускаете суть. Ваш аргумент показывает, что если бы кто-то реализовывал преобразования Лоренца в гильбертовом пространстве, они должны были бы использовать унитарные операторы. Мой вопрос касается того, можем ли мы определить такие унитарные представления для любой данной теории поля и как существование таких представлений ограничивает определение теории поля.
Кроме того, я аплодирую вам за мотивацию в пунктах 1-6, но мы можем достичь свойства гомоморфности в 7, просто потребовав, чтобы отображение унитарных операторов, реализующих преобразования Лоренца, было представлением группы Лоренца. Для меня это требование уже хорошо мотивировано.
на самом деле мы можем дополнительно потребовать, чтобы это было изоморфное представление на хорошо мотивированных основаниях, а именно, что каждое преобразование Лоренца имеет уникальное действие (один к одному), и поскольку это представление, образ карты замкнут при последующем применении унитарных , следовательно, мы можем ограничить цель этим набором и вызвать карту.
@bechira Понятно, да, я неправильно понял вопрос. Я не согласен с тем, чтобы просто требовать, чтобы карта была репрезентацией; Я лично считаю, что свойство гомоморфизма плохо мотивировано с физической точки зрения без аргументации, как в пунктах 1-6.
Чтобы завершить ответ joshpysics, я бы порекомендовал взглянуть на книгу QFT Вайнберга, в которой много подробностей на эту тему. В частности, главы 2, 4 и 5 содержат важную информацию об унитарных преобразованиях и представлениях.
Что гарантирует существование унитарных операторов, реализующих преобразования Лоренца?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v