Нестационарное уравнение Шредингера из вариационного принципа

Question

Нестационарное уравнение Шредингера из вариационного принципа

Физика
интеграл по путям
квантовая механика
уравнение Шредингера
вариационный принцип
теория функционала плотности

пользователь26143

В статье "Теория функционала плотности для нестационарных систем" Physical Review Letters 52 (12): 997 авторы отметили, что действие

\begin{matrix} (1) & А "=" \int_{т_{0}}^{т_{1}} д т ⟨ Φ (т) | я ℏ \partial / \partial т - \hat{ЧАС} (т) | Φ (т) ⟩ \end{matrix}

$A= \int_{t_0}^{t_1} \mathrm dt \langle \Phi(t) | i \hbar\;\partial / \partial t - \hat{H}(t) | \Phi(t) \rangle \tag{1}$

обеспечивает решение зависящего от времени уравнения Шредингера в его стационарной точке. Википедия назвала (1) действием Дирака без дальнейшего упоминания.

Если я делаю вариацию, то стационарная точка действия (1) действительно дает

я ℏ \partial / \partial т | Φ (т) ⟩ "=" \hat{ЧАС} (т) | Φ (т) ⟩

$i \hbar\;\partial / \partial t | \Phi(t) \rangle = \hat{H}(t) | \Phi(t) \rangle$

Однако с точки зрения интеграла по путям принцип наименьшего действия является лишь предельным случаем, когда $\hbar \rightarrow 0$ . В общем случае в квантовой механике нет принципа наименьшего действия.

Мой вопрос в том, как примирить эти два аспекта? Что означает изменение действия (1)?

Себастьян Ризе

Это просто еще один вариационный принцип, не обязательно связанный с классическим действием. Из вариационного функционала Ритца

E [ψ] = \int d^{3} x ψ^{*} (x) H ψ (x)

$E[\psi] = \int d^3x \psi^*(x) H \psi(x)$ вы получите независимое от времени уравнение Шрёдигнера, это просто естественное расширение этого.

Любопытный Разум

В чем, собственно, здесь вопрос? Вы меняетесь

(1)

$(1)$ , вы получите уравнение Шрёдингера. Что за вопрос по этому поводу?

Микаэль Куисма

Действие — это просто термин, используемый для определенного вида функционала. Действие qm и классическое действие — разные вещи в разных пространствах. Таким образом, решать нечего. (если я правильно понял вопрос)

Ответы (2)

Нестационарное уравнение Шредингера из вариационного принципа

Это просто еще один вариационный принцип, не обязательно связанный с классическим действием. Из вариационного функционала Ритца $E[\psi] = \int d^3x \psi^*(x) H \psi(x)$ вы получите независимое от времени уравнение Шрёдигнера, это просто естественное расширение этого.
В чем, собственно, здесь вопрос? Вы меняетесь $(1)$ , вы получите уравнение Шрёдингера. Что за вопрос по этому поводу?
Действие — это просто термин, используемый для определенного вида функционала. Действие qm и классическое действие — разные вещи в разных пространствах. Таким образом, решать нечего. (если я правильно понял вопрос)

Дональдф · Answer 1

В квантовой механике определенно существует принцип наименьшего действия, на нем и основан метод интеграла по траекториям. Докторская диссертация Фейнмана озаглавлена: «Принцип наименьшего действия в квантовой механике». См., например, http://cds.cern.ch/record/101498/files/?ln=en

Ответы, содержащие только ссылки, обычно не одобряются, поскольку ссылки могут, как я бы сказал, «умереть». Можете ли вы объяснить это подробнее?

Ногейра · Answer 2

Если вас интересует интеграл по путям с действием:

\begin{matrix} (1) & С "=" \int_{т_{0}}^{т_{1}} д т ⟨ Φ (т) | я ℏ \partial / \partial т - \hat{ЧАС} (т) | Φ (т) ⟩ \end{matrix}

$\mathcal{S}= \int_{t_0}^{t_1} dt \langle \Phi(t) | i \hbar\partial / \partial t - \hat{H}(t) | \Phi(t) \rangle \tag{1}$ затем

Φ (k, t) = ⟨ k | Φ (t) ⟩

$\Phi(k, t)=\langle k| \Phi(t) \rangle$ теперь является оператором или переменной Mude внутри интеграла по путям. Мост между оператором и языком интегралов по путям:

⟨ α | Т (. . . \hat{Φ} (к, т) . . .) | β ⟩ "=" \int Д ф (к, т) Д \bar{ф} (к, т) (. . . ф (к, т) . . .) е^{\frac{я}{ℏ} С}

$\langle \alpha|\mathcal{T}\left(...\hat{\Phi}(k,t)...\right)|\beta\rangle=\int \mathcal{D}\phi(k,t)\mathcal{D}\bar{\phi}(k,t)\left(...\phi(k,t)...\right)e^{\frac{i}{\hbar}\mathcal{S}}$

И действие теперь записывается как:

С "=" \int_{т_{0}}^{т_{1}} д т \int д к \bar{ф} (к, т) (я ℏ \partial / \partial т - {\hat{ЧАС}}_{к} (т)) ф (к, т)

$\mathcal{S}= \int_{t_0}^{t_1} dt \int dk\, \bar{\phi}(k,t) ( i \hbar\partial / \partial t - \hat{H}_k(t) ) \phi(k, t)$ с

{\hat{H}}_{k} (t)

$\hat{H}_k(t)$ линейный оператор, действующий на функции

ϕ (k, t)

$\phi(k,t)$ .

Это второе квантование . Теперь у нас есть сложная квантовая теория поля. Взяв канонический импульс полей и используя правило квантования Дирака:

{[\hat{Φ} (к, т), {\hat{Φ}}^{†} (к^{'}, т^{'})]}_{\pm} "=" дельта (к^{'} - к) дельта (т^{'} - т)

$\left[\hat{\Phi}(k,t),\hat{\Phi}^{\dagger}(k',t')\right]_\pm=\delta(k'-k)\delta(t'-t)$ Это алгебра операторов уничтожения и рождения . Поскольку теория линейна (

L

$\mathcal{L}$ билинейный в

Φ

$\Phi$ ) числовой оператор

Н "=" \sum_{к} Φ (к, т)^{†} Φ (к, т)

$N=\sum_{k}\Phi(k, t)^{\dagger}\Phi(k, t)$ коммутирует с

H

$\mathcal{H}$ , гамильтониан, связанный с действием

S

$\mathcal{S}$ . Это подразумевает, что

N

$N$ есть постоянная движения. Уравнению Шредингера (уравнению движения) подчиняется полевой оператор:

я ℏ \frac{\partial}{\partial т} \hat{Φ} (к, т) "=" {\hat{ЧАС}}_{к} (т) \hat{Φ} (к, т)

$i \hbar\frac{\partial}{\partial t} \hat{\Phi}(k,t)= \hat{H}_k(t)\hat{\Phi}(k,t)$ и если вы найдете собственные функции

u_{n} (k, t)

$u_n(k,t)$ для

{\hat{H}}_{k} (t)

$\hat{H}_k(t)$ у нас есть:

\hat{Φ} (к, т) "=" \sum_{н} {ты}_{н} (к, т) {\hat{с}}_{н}

$\hat{\Phi}(k,t)=\sum_{n}u_n(k,t)\hat{c}_n$

где $\hat{c}_n$ — оператор уничтожения частицы. Вы видите, что ваш прогноз будет таким же.

Речь идет об историях, не подчиняющихся классическому уравнению движения действия. Здесь я показываю, что эти истории дают нам только описание, в котором количество частиц может быть динамическим. Но поскольку у нас есть симметрия (только билинейные члены), у нас есть симметрия, которая является сохранением числа частиц. Итак, практически мы имеем одно и то же, но с разными описаниями.

Нестационарное уравнение Шредингера из вариационного принципа

пользователь26143

Себастьян Ризе

Любопытный Разум

Микаэль Куисма

Ответы (2)

Дональдф

HDE 226868

Ногейра

Любопытный Разум

Ногейра

Каковы минимальные постулаты для выполнения квантовой механики в формулировке интеграла по путям, не зная операторной формулировки?

Получение квантового гамильтониана для заряженной частицы из формулы континуального интеграла

Вывод Фейнмана уравнения Шрёдингера. Потенциальная пространственная зависимость

Вариационный вывод уравнения Шрёдингера

Можно ли вывести уравнение Шредингера из принципа Гюйгенса?

Как можно использовать лагранжиан для восстановления уравнения Шредингера?

Пропагатор в квантовом механизме интеграла по пути как функция Грина уравнения Шредингера

Вывод Фейнмана уравнения Шредингера

Как спин входит в подход интеграла по путям в квантовой механике?

Является ли интегральная амплитуда пути волновой функцией?