Как спин входит в подход интеграла по путям в квантовой механике?

Question

Как спин входит в подход интеграла по путям в квантовой механике?

ЭтаЗетаТета

Я пытаюсь понять, как мотивировать квантовую механику с помощью интегралов по путям. Поскольку подход интеграла по путям обеспечивает такую прямую связь с классической механикой (через принцип наименьшего действия) и поскольку он обеспечивает такое прямое физическое понимание разницы между классической и квантовой механикой, я думаю, что это действительно ценная линза, через которую можно понимать квантовую теорию. Однако у меня возникли некоторые концептуальные трудности с введением спина.

Проблема заключается в следующем: предположим, что мы ничего не знаем о квантовой механике, кроме того, что пространство состояний является комплексным гильбертовым пространством, внутренний продукт которого отображает квантовые состояния в амплитуды вероятностей. Учитывая, что система находится в некотором квантовом состоянии $|\psi,t_0\rangle$ , мы можем записать состояние системы в какой-то момент в будущем $t$ как

| ψ, т ⟩ "=" \hat{U} (т, т_{0}) | ψ, т_{0} ⟩ .

$|\psi,t\rangle = \hat{U}(t,t_0)|\psi,t_0\rangle.$ Мы знаем это

\hat{U}

$\hat{U}$ должен быть унитарным оператором из-за вероятностной интерпретации внутреннего продукта

⟨ ψ | ψ ⟩

$\langle\psi|\psi\rangle$ , и поэтому что

U (т_{0}, т) "=" U^{†} (т, т_{0}) .

$U(t_0,t) = U^\dagger(t,t_0).$ Беря производную по времени, мы имеем, что

\frac{\partial}{\partial т} | ψ, т ⟩ "=" \frac{\partial \hat{U} (т, т_{0})}{\partial т} | ψ, т_{0} ⟩ "=" \frac{\partial \hat{U} (т, т_{0})}{\partial т} {\hat{U}}^{†} (т, т_{0}) | ψ, т ⟩ .

$\frac{\partial}{\partial t}|\psi,t\rangle = \frac{\partial\hat{U}(t,t_0)}{\partial t}|\psi,t_0\rangle = \frac{\partial\hat{U}(t,t_0)}{\partial t}\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\psi,t\rangle.$ Если мы определим оператор

Λ (т, т_{0}) "=" \frac{\partial \hat{U} (т, т_{0})}{\partial т} {\hat{U}}^{†} (т, т_{0}),

$\Lambda(t,t_0) = \frac{\partial\hat{U}(t,t_0)}{\partial t}\hat{U}^\dagger(t,t_0),$ мы можем показать (используя только унитарность

\hat{U}

$\hat{U}$ что

Λ (t, t_{0})

$\Lambda(t,t_0)$ а) не зависит от

t_{0}

$t_0$ б) антиэрмитовской. Затем мы определяем оператор

ЧАС (т) "=" я ℏ Λ (т),

$H(t) = i \hbar \Lambda(t),$ так что временная эволюция квантового состояния задается уравнением Шредингера как

я ℏ \frac{\partial}{\partial т} | ψ, т ⟩ "=" ЧАС (т) | ψ, т ⟩ .

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi,t\rangle = H(t)|\psi,t\rangle.$ Теперь осталось только определить оператора

H (t)

$H(t)$ . Мы могли бы просто постулировать форму этого оператора, но вместо этого мы будем использовать подход интеграла по путям в качестве постулата и получим форму

H (t)

$H(t)$ оттуда. Предположим, что матричные элементы унитарного оператора временной эволюции

\hat{U} (t, t_{0}

$\hat{U}(t,t_0$ даны

⟨ \vec{р} | \hat{U} (т, т_{0}) | {\vec{р}}_{0} ⟩ "=" \int Д \vec{р} е^{\frac{я}{ℏ} С [\vec{р} (т)]},

$\langle\vec{r}|\hat{U}(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle = \int\mathcal{D}\vec{r}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]},$ где

S

$S$ является классическим действием и

\int D \vec{r}

$\int\mathcal{D}\vec{r}$ обозначает интегрирование (как бы оно ни определялось) по пространству путей, соединяющих точки пространства-времени

(t_{0}, {\vec{r}}_{0})

$(t_0,\vec{r}_0)$ и

(t, \vec{r})

$(t,\vec{r})$ . Используя этот постулат, мы можем записать матричные элементы оператора

H (t)

$H(t)$ как

\begin{aligned} ⟨ \vec{р} | ЧАС (т) | {\vec{р}}_{0} ⟩ & "=" я ℏ \int г {\vec{р}}^{'} \frac{\partial}{\partial т} [⟨ \vec{р} | \hat{U} (т, т_{0}) | {\vec{р}}^{'} ⟩] ⟨ {\vec{р}}^{'} | {\hat{U}}^{†} (т, т_{0}) | {\vec{р}}_{0} ⟩, \\ "=" я ℏ \int г {\vec{р}}^{'} \frac{\partial}{\partial т} [\int Д \vec{р} е^{\frac{я}{ℏ} С [\vec{р} (т)]}] ⟨ {\vec{р}}^{'} | {\hat{U}}^{†} (т, т_{0}) | {\vec{р}}_{0} ⟩, \\ "=" я ℏ \int г {\vec{р}}^{'} [\int Д \vec{р} \frac{\partial}{\partial т} е^{\frac{я}{ℏ} С [\vec{р} (т)]}] ⟨ {\vec{р}}^{'} | {\hat{U}}^{†} (т, т_{0}) | {\vec{р}}_{0} ⟩, \\ "=" я ℏ \int г {\vec{р}}^{'} [\int Д \vec{р} \frac{я}{ℏ} \frac{\partial С}{\partial т} е^{\frac{я}{ℏ} С [\vec{р} (т)]}] ⟨ {\vec{р}}^{'} | {\hat{U}}^{†} (т, т_{0}) | {\vec{р}}_{0} ⟩, \\ "=" \int г {\vec{р}}^{'} [\int Д \vec{р} (- \frac{\partial С}{\partial т}) е^{\frac{я}{ℏ} С [\vec{р} (т)]}] ⟨ {\vec{р}}^{'} | {\hat{U}}^{†} (т, т_{0}) | {\vec{р}}_{0} ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align}\langle\vec{r}|H(t)|\vec{r}_0\rangle &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\frac{\partial}{\partial t}\left[\langle\vec{r}|\hat{U}(t,t_0)|\vec{r}'\rangle\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\frac{\partial}{\partial t}\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\frac{\partial}{\partial t}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\frac{i}{\hbar}\frac{\partial S}{\partial t}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= \int \mathrm{d}\vec{r}'\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\left(-\frac{\partial S}{\partial t}\right)\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle.\end{align}$

Уравнения Гамильтона-Якоби говорят нам, что $-\frac{\partial S}{\partial t}$ просто равен гамильтониану. Теперь у меня есть два связанных вопроса:

1.) Вообще говоря, функции на фазовом пространстве, которые появляются внутри интеграла по путям, соответствуют операторам, которые появляются вне интеграла по путям. Можно ли то же самое сделать для количества $-\frac{\partial S}{\partial t}$ через соответствующее использование разрешения личности?

2.) Если это так, то это уравнение, казалось бы, выводит функциональную форму оператора $H(t)$ как классический гамильтониан с обычной заменой $(\vec{r},\vec{p})\rightarrow(\hat{\vec{r}},-i\hbar\vec{\nabla})$ . Однако квантовый гамильтониан часто содержит спиновые операторы, которые (насколько мне известно) не имеют классических аналогов. Как спиновые операторы входят в $H(t)$ в этом формализме?

пользователь1379857

Дружественный набор заметок для тех, кто интересуется этим вопросом, можно найти здесь hitoshi.berkeley.edu/221a/spin.pdf

Ответы (2)

Как спин входит в подход интеграла по путям в квантовой механике?

Дружественный набор заметок для тех, кто интересуется этим вопросом, можно найти здесь hitoshi.berkeley.edu/221a/spin.pdf

Майк Стоун · Answer 1

Существует обширная литература по континуальным интегралам для спина. Обычно они выводятся с использованием теории обобщенных когерентных состояний. Я не уверен, что является хорошей точкой входа в тему. Я могу рекламировать одну из своих статей: arXiv:cond-mat/0111139, но, возможно, лучшей отправной точкой является статья Калудера (JR Klauder, Ann. Phys. (NY), 11, 123 (1960)), если у вас есть доступ к нему.

Следует отметить, что у квантового спина есть классические аналоги. См. разделы о вращении (около страниц 54 254 и 259) в моих онлайн-лекциях по адресу https://courses.physics.illinois.edu/phys509/sp2017/ .

Постоянные ссылки: arxiv.org/abs/cond-mat/0111139 , doi.org/10.1016/0003-4916(60)90131-7

пользователь1379857 · Answer 2

Как вы, наверное, знаете, есть два разных предмета, которые часто называют «квантовой механикой» и «квантовой теорией поля». Они тесно связаны (т. е. КТП — это как раз то, что происходит при квантовании поля), но не одно и то же.

Интеграл по путям наиболее полезен в КТП, где можно использовать некоторые простые приемы для вывода правил Фейнмана. Подход с интегралом по траекториям также можно использовать для получения обычной квантовой механики, хотя обычно он не особенно полезен.

В контексте квантовой механики отдельных частиц спин должен быть втиснут в систему специальным образом. Понятие спина возникает более естественно в КТП.

Сказав все это, безусловно, существует обобщение интеграла по путям, которое «даст» спин даже в квантовой механике отдельных частиц. Хотя это довольно странно.

По сути, есть нечто, что вы считали само собой разумеющимся всю свою жизнь: переменные коммутируют. Я не имею в виду операторов, я имею в виду переменные. То есть, если у вас есть два числа $a$ и $b$ , затем $ab = ba$ . $a$ и $b$ например, места в космосе. Чтобы настроить интеграл по путям для спина, вам нужно использовать антикоммутирующие переменные. То есть переменные, где ab = -ba . С математической точки зрения для этого требуется «алгебра», которая «порождается» такими переменными. Их часто называют «переменными Грассмана», и вам следует поискать их.

Я не буду вдаваться в полный курс переменных Грассмана, но их обсуждение (обычно некачественное) обычно скрыто во многих вводных книгах по КТП.

В основном происходит то, что вы определяете «псевдоклассическую механику» с этими переменными Грассмана, используя скобку анти-Пуассона вместо обычной скобки Пуассона, используемой в классической механике. (Поищите «Гамильтоновскую механику», если вы не знаете об этом.) После квантования или интеграла по путям вы получите свою старую добрую квантовую систему спина.

Другими словами, это определенно та область, где интеграл по путям представляет собой гораздо более сложный способ решения задач!

В вашей настройке вам просто нужно втиснуть эту «псевдоклассическую» механику в интеграл по путям вместе с вашей обычной классической механикой.

(Примечание: в контексте КТП интеграл по путям, выполненный обычным способом, даст «бозонное» поле, а интеграл по путям, выполненный с переменными Грассмана, даст «фермионное» поле, поэтому, если вы изучите этот предмет, вы Иногда его называют «фермионным» интегралом по траекториям.)

Я сделал эти переменные Грассмана довольно запутанными, но на самом деле они не так уж и плохи. Не пугайтесь их.

Извините, мой ответ был длинным и бессвязным, но вы задали очень каверзный вопрос!

"часто упоминается как "квантовая механика" и "квантовая теория поля"". Возможно, здесь следует внести ясность: КТП является метауровнем квантовой механики, поскольку ее основное состояние представляет собой волновую функцию свободной частицы КМ для данного поля. КТП основана на всех постулатах квантовой механики.
Спасибо за Ваш ответ! У меня только поверхностное знакомство с КТП, но я слышал о переменных Грассмана и фермионных интегралах по путям, и ваш ответ дал мне хорошее представление об этих концепциях, которые я очень ценю.

Как спин входит в подход интеграла по путям в квантовой механике?

ЭтаЗетаТета

пользователь1379857

Ответы (2)

Майк Стоун

Qмеханик

пользователь1379857

Анна В

ЭтаЗетаТета

Каковы минимальные постулаты для выполнения квантовой механики в формулировке интеграла по путям, не зная операторной формулировки?

Получение квантового гамильтониана для заряженной частицы из формулы континуального интеграла

Вывод Фейнмана уравнения Шрёдингера. Потенциальная пространственная зависимость

Где находится спин в уравнении Шредингера электрона в атоме водорода?

Как можно использовать лагранжиан для восстановления уравнения Шредингера?

Заботится ли уравнение Шредингера о вращении?

Может ли спин частицы со спином 1/21/21/2 перевернуться в изменяющемся во времени магнитном поле?

Пропагатор в квантовом механизме интеграла по пути как функция Грина уравнения Шредингера

Вывод Фейнмана уравнения Шредингера

Можно ли в настоящее время описать спин с помощью интегралов по траекториям?