Дивергенция нулевой скорости для несжимаемого потока получается из уравнения сохранения энергии или уравнения сохранения массы?

Я немного запутался в определении несжимаемого потока. Во многих учебниках или научных статьях просто утверждается, что условием несжимаемости уравнения Навье-Стокса является:

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Но никто не говорит явно, как доказать, что несжимаемое поле скоростей должно быть бездивергентным. Вот мои выводы, чтобы вывести это уравнение из основных основ физики:

Для несжимаемой жидкости: из уравнения состояния термодинамики мы знаем, что плотность должна зависеть только от равновесных потенциалов давления и температуры:

$\rho = \rho(P,T)$

Если мы возьмем материальную производную из этого уравнения:

$\frac{D \rho}{D t} = (\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} \frac{D P}{D t} + (\frac{\partial \rho}{\partial T})_{P} \frac{D T}{D t}$

Для изотермической и несжимаемой жидкости:

Несжимаемая жидкость:$(\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} = 0$

Изотермическая жидкость:$\frac{D T}{D t} = 0$

Итак, в конечном итоге, эти условия приведут к:

$\frac{D \rho}{D t} = 0$

Но из уравнения сохранения массы (уравнения непрерывности) имеем:

$\frac{D \rho}{D t} = -\rho \nabla \cdot \mathbf{u}$

Как результат:$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Для сжимаемой жидкости: из уравнения баланса внутренней энергии мы знаем:

$\rho \frac{D e}{D t} = -\nabla \cdot \mathbf{q} + \sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Где$e$внутренняя энергия системы, равная энтальпии при постоянном давлении,$\mathbf{q}$- тепловой поток тепла,$\sigma$– тензор напряжений Коши, который равен:$\sigma = -P \mathbf{I} + \tau$, где$P$это давление и$\tau$является девиаторным напряжением.

Для изотермической сжимаемой жидкости:$\frac{D e}{D t} = 0$и$\nabla \cdot \mathbf{q} = 0$.

Как результат:$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = 0$.

Для ньютоновской сжимаемой жидкости имеем:$\tau = \mu (\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^{T}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u}) \mathbf{I}$.

Где$\mu$вязкость сдвига и$\zeta$это объемная вязкость.

Наконец, термин$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$может быть расширен как:

$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = -P (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})^{2} + 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$.

Где$S$- тензор скорости сдвига, который определяется как:$S = \frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^{T})$.

Наконец, у нас есть:

$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = -P (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})^{2} + 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = 0$

или

$(P - \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})) (\nabla \cdot \mathbf{u}) = 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Теперь мы можем утверждать, что при низких скоростях (низкое число Маха) вязкое рассеивание тепла ($2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$) пренебрежимо мал. В результате имеем:

$(P - \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})) (\nabla \cdot \mathbf{u}) = 0$

Наконец, у нас должно быть:

$P = \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})$

или

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Первое уравнение ($P = \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})$) противоречиво, поскольку термодинамическое давление$P$должно зависеть только от равновесных потенциалов, а не от кинетических переменных, таких как скорость. В результате имеем:

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Таким образом, это доказывает, что сжимаемую жидкость можно рассматривать как несжимаемый поток, когда ее скорость остается малой по сравнению со скоростью звука (низкое число Маха).

Итак, мой вопрос: почему в классических учебниках по механике жидкости люди всегда утверждают, что условие отсутствия дивергенции является прямым следствием сохранения массы?! Прямо сейчас я показываю, что его можно вывести с минимальными предположениями из уравнения сохранения энергии. Любая идея или предложение приветствуется.

Версия:

Доказательство пренебрежимо малой скорости вязкого рассеивания тепла:

Полное уравнение баланса внутренней энергии:

$\rho \frac{\partial e}{\partial t} + \rho \mathbf{u} \cdot \nabla e = -\nabla \cdot \mathbf{q} + \sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Внутренняя энергия будет равна энтальпии при постоянном давлении. В результате имеем:

$e = C_{p} \Delta T$

Где$C_{p}$- удельная теплоемкость при постоянном давлении и$\Delta T$- разница температур от контрольной точки. Также, приняв закон теплопередачи Фурье, мы имеем:

$\mathbf{q} = -k \nabla T$

Где$k$это теплопроводность.

Уравнение внутренней энергии можно переписать так:

$\rho C_{p} \frac{\partial T}{\partial t} + \rho C_{p} \mathbf{u} \cdot \nabla T = k \nabla^{2} T + \sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Если положить расширение$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$для ньютоновской сжимаемой жидкости окончательно найдем:

$\rho C_{p} \frac{\partial T}{\partial t} + \rho C_{p} \mathbf{u} \cdot \nabla T = k \nabla^{2} T -P (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})^{2} + 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Это уравнение можно обезразмерить, взяв:

$\theta = \frac{\Delta T}{\Delta T_{0}}$,$t^{'} = \frac{t}{t_{0}}$,$\mathbf{u}^{'} = \frac{\mathbf{u}}{u_{0}}$,$\nabla^{'} = \epsilon \nabla$,$P^{'} = \frac{P}{P_{0}}$,$S^{'} = \frac{\epsilon S}{u_{0}}$

Таким образом, приведенное выше уравнение может быть переписано как:

$\frac{\rho C_{p} \Delta T_{0}}{t_{0}} \frac{\partial \theta}{\partial t^{'}} + \frac{\rho C_{p} u_{0} \Delta T_{0}}{\epsilon} \mathbf{u}^{'} \cdot \nabla^{'} \theta = \frac{k \Delta T_{0}}{\epsilon^{2}} {\nabla^{'}}^{2} \theta - \frac{P_{0} u_{0}}{\epsilon} P^{'} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'}) + \frac{\zeta u_{0}^{2}}{\epsilon^{2}} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})^{2} + \frac{2 \mu u_{0}^{2}}{\epsilon^{2}} S^{'} \cdot (\nabla^{'} \otimes \mathbf{u}^{'})$

Наконец, взяв$\alpha = \frac{k}{\rho C_{p}}$и его безразмерная форма$\alpha^{'} = \frac{\alpha t_{0}}{\epsilon^{2}}$, у нас есть:

$\frac{1}{\alpha^{'}} \frac{\partial \theta}{\partial t^{'}} + Pe \mathbf{u}^{'} \cdot \nabla^{'} \theta = {\nabla^{'}}^{2} \theta - \frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'}) + Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})^{2} + 2Br_{shear} S^{'} \cdot (\nabla^{'} \otimes \mathbf{u}^{'})$

Где числа Пекле, объемные числа Бринкмана и сдвиговые числа Бринкмана определяются как:

$Pe = \frac{u_{0} \epsilon}{\alpha}$

$Br_{bulk} = \frac{\zeta u_{0}^{2}}{k \Delta T_{0}}$

$Br_{shear} = \frac{\mu u_{0}^{2}}{k \Delta T_{0}}$

Наконец, для изотермической жидкости:$\theta = \theta_{0} = const.$и у нас будет:

$2Br_{shear} S^{'} \cdot (\nabla^{'} \otimes \mathbf{u}^{'}) = (\frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} - Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})) (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})$

При малых числах Маха числа Бринкмана (как сдвиговые, так и объемные) пренебрежимо малы. На самом деле число Бринкмана должно быть как минимум порядка$O(1)$учесть скорость вязкой диссипации теплоты в уравнении внутренней энергии. Для обычных жидкостей в режиме малых чисел Маха число Бринкмана порядка$O(10^{-3})$, что незначительно.

В результате у нас должно получиться:

$\frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} = Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})$

или

$\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'} = 0$

Опять же, мы могли бы утверждать, что первое уравнение ($\frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} = Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})$) может быть неверным, потому что термодинамическое давление должно зависеть только от равновесного потенциала, а не кинетических переменных (например, скорости). В итоге окончательно найдем:

$\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'} = 0$

или в его размерной форме:

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$