Уравнение энергии Навье-Стокса

Мне дали (в качестве домашнего задания по курсу математического моделирования) задачу вывести уравнение энергии Навье-Стокса в одном пространственном измерении:

Рассмотрим жидкость, текущую по цилиндрической трубе (слева направо; также предположим, что труба горизонтальна) с постоянным поперечным сечением.$A$, скорость$v(x,t)$, плотность$\rho(x,t)$, удельная внутренняя энергия$e(x,t)$, температура$T(x,t)$, под давлением$p(x,t)$, и подвержены вязким напряжениям. (Под удельной внутренней энергией мы подразумеваем внутреннюю энергию на единицу массы. Внутренняя энергия возникает в результате межмолекулярных столкновений в жидкости, и ее следует отличать от кинетической энергии, связанной с макроскопическим движением жидкости (т.е.$\tfrac{1}{2}mv^2$). По закону сохранения энергии показать, что

$$\begin{equation} \left[\rho\left(\frac{v^2}{2}+e\right)\right]_{t}+\left[\rho ve+\frac{1}{2}\rho v^3-\kappa(x)T_x+pv-\mu vv_x\right]_x=0, \end{equation}$$ где $\kappa$температуропроводность и $\mu$- коэффициент вязкости.

К задаче прилагается такая "подсказка":

Примечание. Плотность энергии должна легко определяться. Для потока рассмотрите каждое из следующего, которое соответствует соответственно терминам в приведенном выше уравнении: внутренняя энергия, кинетическая энергия, энергия, потерянная на тепло, энергия, потерянная на работу против давления, энергия, потерянная на работу против вязкого напряжения.

Я полагаю, что для нас предназначено использовать уравнение сохранения$u_t+f_x=0$(где$u(x,t)$является некоторой сохраняющейся величиной и$f$поток), но у меня большие проблемы с интерпретацией физических явлений как уравнений (я аспирант математики, который постыдно мало знает физику).

Глядя на приведенное выше уравнение, я предполагаю, что плотность энергии в точке - это просто внутренняя энергия плюс кинетическая энергия, или$mv^2/2+me$, (поскольку удельная внутренняя энергия - это внутренняя энергия - это внутренняя энергия на единицу массы), и тогда как-то мы должны быть в состоянии утверждать, что$m=\rho A$, и в итоге$A$будут разделены. Проблема, с которой я столкнулся, заключается в том, что я считаю, что уравнение массы$=$объем$\times$плотность, а не площадь, и у меня небольшие проблемы с тем, чтобы концептуально позволить себе состояние$m=A\rho$с уверенностью (поскольку любой объект без трех пространственных измерений должен иметь нулевой объем, верно?).

Что касается потока, у меня возникли серьезные проблемы с интерпретацией того, каким будет «поток энергии», даже с его намеком.

Любая помощь будет принята с благодарностью. Надеюсь, этот вопрос еще не задавался (я хорошо поискал) и что он был правильно помечен. Заранее спасибо.

Кроме того, любые рекомендации по книге по физике, предназначенной для людей с математическим образованием, также будут очень признательны.

Пожалуйста, дайте мне знать, если что-то неясно в формулировке вопроса, и я сделаю все возможное, чтобы прояснить ситуацию.