Противоречие между законом сохранения энергии и законом сохранения импульса?

Вчера при изучении простого вопроса меня посетило довольно странное сомнение:

Рассмотрим шар массой м движущийся со скоростью в который сталкивается со стенкой при абсолютно упругом ударе и отскакивает назад с той же скоростью. Считая направление начального движения мяча положительным, изменение импульса мяча равно − 2 м в и стена явно покоится.

Итак, чтобы соблюсти закон сохранения импульса, стена должна набрать импульс 2 м в .

Вот это само меня сильно смутило. Затем я применил закон сохранения кинетической энергии к этой ситуации, и ясно, что величины начальной и конечной скоростей мяча равны, поэтому кинетическая энергия мяча сохраняется, и, следовательно, конечная кинетическая энергия стены должна быть равна нулю. в целях экономии энергии.

Теперь это противоречит закону сохранения импульса, согласно которому стена должна набрать импульс 2 м в .

Еще один момент: если мы говорим о стене, то это важный факт, который необходимо учитывать, что стена закреплена на земле, и поэтому масса стены эквивалентна массе земли, скажем. М . Если теперь применить закон сохранения импульса, то мы получим скорость стенки, скажем В знак равно 2 м в / М что, несомненно, является чрезвычайно малой величиной. Но закон сохранения энергии строго говорит, что скорость стенки должна быть ровно нулевой, не допускается даже минимальное значение (теоретически).

Пожалуйста, разъясните это и поправьте меня где-нибудь, если я ошибаюсь. Я старался изо всех сил, чтобы было ясно, что я хочу спросить :).

"очевидно, что величины начальной и конечной скоростей мяча равны" Подумайте еще раз.
@garyp да, какое фактически неверное утверждение. Это все равно, что сказать 10 м / с ускорение к объекту, который уже движется в 10 м / с оставил бы его в пути точно 20 м / с . Какой нормальный и здравомыслящий человек сделает такое заявление? (Он сказал, пытаясь изобразить очевидный сарказм, но, возможно, с треском провалился)
@Jim Сарказм ясен, но цель - нет. Если я цель, я не обижаюсь, но укажу, что ОП представил непоследовательный набор условий.
"Я тогда применил закон сохранения кинетической энергии..." Такого закона нет.
@garyp нет цели. Вы сделали правильное замечание, которое фактически эквивалентно моему сравнению. И также верно, что большинство людей разумно сказали бы мой пример утверждения. Сарказм предназначен для того, чтобы показать, что, хотя технически это ложь, никто не будет возражать против подобного заявления.
FWIW, это в основном то же самое, что и этот другой вопрос .
@BillN при идеально упругом столкновении KE сохраняется. Это я и имел в виду!!
@ Джим 20 м / с ? Конечно нет! Это больше, чем 2.2253Е-14. м / с слишком быстро. :)
КЭ системы шар+стена(+земля и все...) сохраняется. Почему с учетом только мяча? Таким образом , величины начальной и конечной скоростей мяча не равны .
@PM2Ring Я знаю, это пародия
Для такого рода вопросов хорошим подходом является следующий: НЕ предполагайте, что одна величина пренебрежимо мала по отношению к другой (здесь вы можете почувствовать, что это было источником путаницы). В этом случае перефразируйте свою задачу как резинку двух мячей, один из которых изначально покоится. Вы можете решить это очень легко, используя закон сохранения энергии и импульса. Затем сделайте массу второго шара очень большой и посмотрите, что произойдет. Я думаю, что такой способ мышления дает вам решение без фактического выполнения каких-либо вычислений.
@user375072 user375072 Это происходит только тогда, когда вы считаете, что ваша стена имеет бесконечную массу, иначе ваша стена начнет двигаться.

Ответы (4)

Но закон сохранения энергии строго говорит, что скорость стенки должна быть ровно нулевой.

На самом деле это не так . Энергия сохраняется, да, но ничто не должно быть равно нулю, чтобы она сохранялась.

Ошибка состоит в том, что вы считаете стену неподвижной даже после столкновения. Это ваше собственное предположение, и, как вы ясно показываете с сохранением импульса, оно не может быть правдой.

Вы уже поняли, что если вся Земля включена в картину, закон сохранения импульса имеет смысл в том смысле, что Земле после столкновения придается крохотная, крохотная, крохотная скорость. Теперь переделайте соображения сохранения энергии с учетом этого - другими словами, повторите расчеты энергии, не предполагая, что стена/Земля неподвижны.

На самом деле полученная скорость Земли настолько мала, что ею можно пренебречь, поэтому ее обычно принимают за ноль.

Кроме того, если вы запускаете мяч откуда-то с Земли, крошечная, крошечная, крошечная скорость, которую вы добавляете Земле, противодействует крошечной, крошечной, крошечной скорости в противоположном направлении от когда вы запустили мяч.
@ Amadeus9 Да, но это не имеет отношения к расчетам столкновения мяча со стеной.

Когда мяч ударяется о стену и отскакивает назад, он передает импульс примерно 2 м б в б к стене. Стена прикреплена к фундаменту здания, поэтому она также отталкивается от здания и передает этот импульс зданию. Здание прочно укоренено в Земле, и таким образом этот импульс передается Земле. В свою очередь, Земля принимает дополнительный импульс и говорит: «Ха! Такой слабый дополнительный импульс. Я проигнорирую ваши жалкие попытки повлиять на меня, как вы проигнорируете вес лишней бактерии на вашей руке». Технически скорость Земли увеличивается так, что

∼ 2 м б в б знак равно М Е Δ в Е
Какими бы ни были масса и скорость шара, масса Земли равна 5,97 × 10 24 к грамм , так что дельта-v Земли в принципе ничего. Также помните, что есть, вероятно, 10 квадриллионов других объектов с аналогичной массой, добавляющих и уменьшающих импульс Земли во всех направлениях. Это компенсируется (помимо того, что оно незначительно).

Что касается энергии, так как кинетическая энергия пропорциональна в 2 и импульс пропорционален только в , изменение полной кинетической энергии Земли от этого взаимодействия даже меньше, чем изменение ее полного импульса (если измерять относительные проценты, а не абсолютные числовые значения). Это просто из-за того, насколько ограничено изменение скорости Земли из-за ее колоссальной массы (извините, Земля, даже проблемы с железами не оправдают ваш толстый вес. Земля такая толстая, что у нее есть собственное гравитационное притяжение). Так что, строго говоря, чтобы это было абсолютно упругое столкновение, кинетическая энергия системы не меняется, а это означает, что конечная скорость мяча не совсем равна − в . Давайте проведем некоторые первоначальные расчеты и проигнорируем такие вещи, как угловой момент (то есть предположим, что мяч падает нормально к поверхности Земли). Кроме того, предположим, что начальная скорость Земли равна нулю, и назовем начальную скорость мяча в и масса мяча м б знак равно 1 к грамм .

− м б Δ в б знак равно М Е в Е ф
м б в 2 знак равно м б в б ф 2 + М Е в Е ф 2

Вставьте сюда немного алгебры razzmatazz, затем добавьте немного клея ПВА, и это должно выглядеть примерно так:

в б ф 2 + 1 5,97 × 10 24 Δ в б 2 знак равно в 2

Итак, у вас есть это. Конечная скорость мяча может быть найдена с помощью этого уравнения. Поскольку мы разумно ожидаем, что изменение скорости мяча будет где-то около − 2 в , второй член в левой части этого уравнения всегда будет примерно на 24 порядка меньше первого. Что это значит? Никакой калькулятор, которым вы владеете, и большинство компьютерных калькуляторов (кроме явно настроенных программ, которые вы могли бы написать сами) не будут достаточно точными, чтобы устранить разницу между технически точной конечной скоростью мяча и, если вы скажете, что это просто в ф знак равно − в . Также нетрудно убедиться, что изменение скорости Земли примерно на 24 порядка меньше, чем изменение скорости мяча.

Ладно, вернемся к сути дела. Вы задавались вопросом, как на самом деле сохраняются импульс и энергия. Что ж, энергия и импульс передаются через стену на Землю, которая их поглощает. Однако изменение скорости, которое это вызывает на Земле, настолько мало, что его практически невозможно измерить. Итак, в конечном итоге вы видите, что мяч ведет себя так, как будто он отскочил от неподвижного объекта. Правда в том, что изменение скорости не совсем − 2 в , но я обещаю вам, что все будут в порядке, если вы хотите округлить до − 2 в .

Итак, я ошибался, думая, что конечная скорость Земли равна нулю, а это не так. Большое спасибо, Джим, твое объяснение было именно тем, что мне было нужно :)
@user375072 user375072 вот для чего я здесь
Я немного не в курсе вашей системы отсчета. (Хорошо, я не совсем, но...) Если мы зафиксируем систему координат на Земле, то она будет неинерционной в один момент времени, но будет инерционной во все остальные моменты времени. Какова конечная скорость мяча в этой медленно отдающей системе координат? (Я предсказываю, что это − в .)
@EricTowers ага, − в . Однако мой кадр был начальным кадром Земли. Столкновение с мячом вытолкнуло Землю из этого кадра, но не меня (я не боюсь никакого ускорения)
In turn, Earth accepts the extra momentum and says "Hah! Such weak extra momentum. I shall ignore your pitiful attempts to affect me as you would ignore the weight of an extra bacteria on your hand".Ха! Хороший.

Стена соединена с землей. Земля и стена получают импульс в 2 мВ, который настолько незначителен, что его влияние на землю и стену практически отсутствует во всех смыслах и целях.

Я думаю, вы все игнорируете тот факт, что некоторая часть энергии мяча будет преобразована в тепло при ударе о стену. Это должно быть строго учтено в этом уравнении. (бывший учитель физики)

Мы не забываем об этом. Это абсолютно упругое столкновение, которое по определению означает сохранение всей кинетической энергии. Если учесть превращение кинетической энергии в тепловую, то столкновение становится чем-то иным, чем совершенно упругим, что не соответствует духу вопроса.
Противоречие между законом сохранения энергии и законом сохранения импульса?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v