Символы Кристоффеля в координатах Крускала-Секереша [закрыто]

Я разработал их недавно, и для их получения потребовалось довольно много вычислений, поэтому я подумал, что они могут быть полезны другим.

В дальнейшем пусть$m=1/2$, так что горизонт находится на$r=1$, т.е.$r$находится в единицах радиуса Шварцшильда. Внешние области максимального расширения пространства-времени Шварцшильда находятся на$r>1$, то есть регионы I и III. Интерьер$r<1$, районы II и IV.

Версия координат Крускала-Секереса, которую я буду использовать, это нулевые координаты.$(V,U)$, эквивалент Хокинга и Эллиса$(v'/\sqrt2,w'/\sqrt2)$.

Даже при работе в координатах Крускала-Секереша некоторые вещи удобно выражать в терминах Шварцшильда$r$координата, которую можно найти с помощью

$$\begin{equation} r = 1+W(-VU/e). \end{equation}$$ Здесь функция$W$- главная действительная ветвь W-функции Ламберта, а$e$является основанием натуральных логарифмов. Также удобно определить $$\begin{equation} B = \frac{4}{re^r}. \end{equation}$$

Метрика

$$\begin{equation} ds^2 = B dVdU-r^2 d\Omega^2. \end{equation}$$

Символы Кристоффеля следующие:

$$\begin{align} \Gamma^V_{VV} &= (r^{-1}+r^{-2})Ue^{-r} \\ \Gamma^U_{UU} &= (r^{-1}+r^{-2})Ve^{-r} \\ \Gamma^\theta_{V\theta} = \Gamma^\phi_{V\phi} &= -UB/4r \\ \Gamma^\theta_{U\theta} = \Gamma^\phi_{U\phi} &= -UB/4r \\ % \Gamma^V_{\theta\theta} &= -Vr/2 \\ \Gamma^U_{\theta\theta} &= -Ur/2 \\ \Gamma^V_{\phi\phi} &= -(Vr/2) \sin^2\theta \\ \Gamma^U_{\phi\phi} &= -(Ur/2) \sin^2\theta \\ % \Gamma^\theta_{\phi\phi} &= -\sin\theta \cos\theta \\ \Gamma^\phi_{\theta\phi} &= \cot\theta \\ \end{align}$$ Я получил их, вычислив их в системе компьютерной алгебры Maxima, а затем очистив полученные выражения вручную. Я сравнил свои очищенные версии с необработанными выводами Maxima, чтобы убедиться, что они верны. Они реализованы в проекте программного обеспечения с открытым исходным кодом под названием karl .

Метрика и символы Кристоффеля плохо себя ведут на$r=0$особенностей, а также на координатных особенностях при$\theta=0$и$\pi$.

Связанный: Путь свободного падения в черную дыру в координатах Крускала