Нежное знакомство с твисторами

Question

Нежное знакомство с твисторами

Дилатон

Когда я читаю о восстании твисторов или пытаюсь следить за соответствующей речью Нимы, меня всегда раздражает, что я понятия не имею, как работает твисторное пространство, твисторный формализм или твисторная теория. Прежде всего, являются ли эти три термина своего рода синонимами или какова между ними связь? Твисторы - это просто глубокая черная брешь в моем образовании.

Я читал « Дорогу к реальности », но я просто не понял из соответствующей главы, может быть, потому, что я не мог лучше понять одну или две главы, предшествующие ей ... :-/

Итак, может ли кто-нибудь указать мне на нежный, но, тем не менее, слегка технический источник, который объясняет твисторы шаг за шагом (похожий на демистифицированную книгу...), чтобы даже я мог это понять, если что-то подобное существует? Поскольку я думаю, что мне действительно придется немного «помедитировать» об этом, я бы предпочел что-нибудь написанное, что я могу распечатать, но, тем не менее, я был бы признателен за видеолекции или доклады.

Ответы (3)

Нежное знакомство с твисторами

твистор59 · Answer 1

:-) Лучшее введение в базовую теорию твисторов, которое я знаю, это книга Хаггетта и Тода.

Если у вас нет доступа к этой книге, а какие-то другие ответы не появляются за это время, я с удовольствием напишу здесь несколько кусочков, но придется подождать до выходных. (Я могу быть предвзятым, но я думаю, что это стоит изучить, так как приложения амплитуды MHV чрезвычайно интересны).

Редактировать: вот несколько абзацев, чтобы дать представление о теории твистора:

Теория твисторов широко использует спиноры Вейля , которые формируют представления $SL(2;\mathbb{C})$ - двойное покрытие (ограниченной) группы Лоренца. Они бывают двух видов – спиноры без грунтовки. $\omega_A$ преобразование согласно фундаментальному представлению, и штрихованные спиноры $\omega_{A’}$ преобразование по сопряженному представлению. (Обратите внимание, что в большей части современной литературы загрунтованное и не загрунтованное обозначено пунктиром. $\lambda_{\dot{a}}$ и без точек). Индексы спинора повышаются и понижаются с помощью антисимметричного спинора.

ϵ_{А Б} знак равно ϵ_{А^{'} Б^{'}} знак равно ϵ^{А Б} знак равно ϵ^{А^{'} Б^{'}} знак равно (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array})

$\epsilon_{AB}=\epsilon_{A’B’}=\epsilon^{AB}= \epsilon^{A’B’} = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)$ Векторы пространства Минковского

x^{a}

$x^a$ можно поставить в соответствие двухиндексные нештрихованные/штрихованные спиноры, написав

{Икс}^{А А^{'}} знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{cc} {Икс}^{0} + {Икс}^{1} & {Икс}^{2} + я {Икс}^{3} \\ {Икс}^{2} - я {Икс}^{3} & {Икс}^{0} - {Икс}^{1} \end{array})

$x^{AA’} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} x^0+x^1 & x^2+ix^3 \\ x^2-ix^3 & x^0-x^1 \end{array} \right)$ Теперь, если мы возьмем праймированную/непраймированную спинорную пару

(ω^{A}, π_{A^{'}})

$(\omega^A, \pi_{A’})$ , то множество векторов Минковского, удовлетворяющих

ю^{А} знак равно я {Икс}^{А А^{'}} π_{А^{'}} (1)

$\omega^A=ix^{AA’}\pi_{A’} \ \ \ (1)$ является нулевой линией в пространстве Минковского, если мы накладываем условие реальности

ю^{А} {\bar{π}}_{А} + {\bar{ю}}^{А^{'}} π_{А^{'}} знак равно 0

$\omega^A{\bar{\pi}}_{A}+{\bar{\omega}}^{A’}\pi_{A’}=0$ Пара спиноров называется твистором.

Z^{α} = (ω^{A}, π_{A^{'}})

$Z^{\alpha} = (\omega^A, \pi_{A’})$ . Пространство таких четырехкомпонентных объектов является «твисторным пространством».

T

$\mathbb{T}$ , на котором мы определяем эрмитову форму через операцию сопряжения

{\bar{Z}}_{0} знак равно \bar{Z^{2}} знак равно {\bar{π}}_{0}

${\bar{Z}}_0 = \bar{Z^2} = {\bar{\pi}}_0$

{\bar{Z}}_{1} знак равно \bar{Z^{3}} знак равно {\bar{π}}_{1}

${\bar{Z}}_1 = \bar{Z^3} = {\bar{\pi}}_1$

{\bar{Z}}_{2} знак равно \bar{Z^{0}} знак равно {\bar{ю}}^{0^{'}}

${\bar{Z}}_2 = \bar{Z^0} = {\bar{\omega}}^{0’}$

{\bar{Z}}_{3} знак равно \bar{Z^{1}} знак равно {\bar{ю}}^{1^{'}}

${\bar{Z}}_3 = \bar{Z^1} = {\bar{\omega}}^{1’}$

Условие реальности выше тогда выражается как $Z^{\alpha}{\bar{Z}}_{\alpha}=0$ а твисторы, удовлетворяющие этому условию, называются нулевыми твисторами.

Геометрическое место точек в пространстве Минковского, удовлетворяющих (1), не изменится, если мы умножим твистор $Z^{\alpha}{\bar{Z}}_{\alpha}=0$ любым ненулевым комплексным числом. На самом деле оказывается чрезвычайно полезным наложить это как отношение эквивалентности на $\mathbb{T}$ и работать с его проективной версией $P\mathbb{T}$ . Таким образом, проективные нуль-твисторы соответствуют световым лучам в пространстве Минковского. Соответствие между (проективным) твисторным пространством и пространством Минковского становится более полным, если мы присоединим к пространству Минковского его конформную границу (световой конус на бесконечности) и если мы его усложним. Тогда мы имеем дело с комплексифицированным, компактифицированным пространством Минковского. $\mathbb{C}M$ а твисторы (мы всегда будем иметь в виду проективные твисторы) соответствуют полностью нулевым двуплоскостям (называемым альфа-плоскостями) в $\mathbb{C}M$ . Альфа-плоскости, соответствующие нулевым твисторам (такие объекты живут в подпространстве $P\mathbb{T}$ называется $PN$ ) будет пересекать реальный срез $\mathbb{C}M$ в нулевых лучах.

И наоборот, точка x в реальном пространстве Минковского определяет набор нулевых лучей — тех, которые определяют нулевой конус в этой точке. Таких лучей стоит две сферы (небесная сфера), а множество твисторов, определяющих эти лучи, определяет подмножество $PN$ имеющую топологию двух сфер, но, что более важно, имеющую сложную структуру $\mathbb{C}P^1$ , и известная как проективная линия (или просто «линия»). На рис. 1 показаны точка x в пространстве Минковского и соответствующая прямая $L_x$ в $PN$ , а также пара твисторов $Z$ и $W$ на $L_x$ и нулевые лучи $\gamma_Z$ и $\gamma_W$ они соответствуют.

введите описание изображения здесь

Самое интересное начинается, когда вы рассматриваете функции в твисторном пространстве. Предположим, мы рассматриваем функцию, однородную нулевой степени (т.е. $f(\lambda Z^{\alpha}) = f(Z^{\alpha}); \lambda \in \mathbb{C}^*$ ). Затем мы определяем поле в пространстве-времени:

ф_{А Б} (Икс) знак равно \oint р_{Икс} (\frac{\partial}{\partial ю^{А}} \frac{\partial}{\partial ю^{Б}} ф (ю^{А}, π_{А^{'}})) π_{С^{'}} г π^{С^{'}}

$\phi_{AB}(x) = \oint{\rho_x(\frac{\partial}{\partial \omega^A} \frac{\partial}{\partial \omega^B}f(\omega^A, \pi_{A’}))\pi_{C’}d\pi^{C’}}$ куда

ρ_{x}

$\rho_x$ означает «наложить ограничение (1)». Чтобы получить нетривиальное поле, функция f должна иметь особенности на твисторном пространстве, т. е. не должна быть везде голоморфной. Например, у него могут быть столбы. Используемый контур находится на проективной линии

L_{x}

$L_x$ и избегает особенностей f.
введите описание изображения здесь

Определенное таким образом поле удовлетворяет

\nabla^{А А^{'}} ф_{А Б} знак равно 0 (2)

$\nabla^{AA'} \phi_{AB} = 0 \ \ \ (2)$ Где

\nabla_{А А^{'}} знак равно \frac{\partial}{\partial {Икс}^{А А^{'}}}

$\nabla_{AA’} = \frac{\partial}{\partial x^{AA’}}$ Мы можем разложить антисимметричный тензор электромагнитного поля на его антисамодуальную и самодуальную части соответственно как

Ф_{а б} знак равно Ф_{А А^{'} Б Б^{'}} знак равно ф_{А Б} ϵ_{А^{'} Б^{'}} + {\tilde{ф}}_{А^{'} Б^{'}} ϵ_{А Б}

$F_{ab} = F_{AA'BB'} = \phi_{AB}\epsilon_{A'B'} +{\tilde{\phi}}_{A'B'}\epsilon_{AB}$ Тогда (2) представляет уравнения Максвелла (без источника) (для антисамодуальных полей Максвелла). Соответствие между твисторными функциями и антиавтодуальными решениями уравнений Максвелла не однозначно. Однако рассмотрение твисторных функций как представителей определенных классов пучковых когомологий дает однозначное соответствие.

Выбор твисторных функций с другими однородностями приводит к другим типам полей (симметричные спиноры с другим числом штрихованных или нештрихованных индексов, удовлетворяющих уравнениям, подобным (2)). Например, уравнения для самодуальных полей Максвелла

\nabla^{А А^{'}} ф_{А^{'} Б^{'}} знак равно 0

$\nabla^{AA'} \phi_{A’B’} = 0$ задаются (немного другим) контурным интегралом, включающим твисторные функции однородности -4:

ф_{А^{'} Б^{'}} (Икс) знак равно \oint р_{Икс} (π_{А^{'}} π_{Б^{'}} ф (ю^{Д}, π_{Д^{'}})) π_{С^{'}} г π^{С^{'}}

$\phi_{A'B'}(x) = \oint{\rho_x(\pi_{A'}\pi_{B'}f(\omega^D, \pi_{D'}))\pi_{C'}d\pi^{C'}}$

Существуют и другие способы использования твисторного соответствия, например соответствие может быть установлено для полей в реальном пространстве с евклидовой сигнатурой. Эта программа привела к построению самодвойственных решений уравнений Янга Миллса на $S^4$ (компактификация $\mathbb{R}^4$ ). В этом случае соответствие находится между самодуальными полями Ян-Миллса на $S^4$ и голоморфные расслоения на твисторном пространстве, которые (голоморфно) тривиальны на проективных прямых в твисторном пространстве (и которые имеют различные другие условия в зависимости от структурной группы интересующей вас теории Янга Миллса).

Как твисторное пространство, так и пространство Минковского могут быть «утолщены» путем добавления грассмановых координат, и таким образом могут быть заданы суперсимметричные версии твисторных соответствий типа, показанного выше. Это использовалось при обработке суперсимметричной теории Янга Миллса.

Привет Twistor :-))), большое спасибо. Издалека книга выглядит очень красиво и кажется, что в ней есть много того, что я всегда хотел знать и быть вполне доступным для меня :-). Я был бы признателен, если бы вы могли написать более подробную информацию, как вы найдете время для этого. Ваше здоровье
Я принимаю этот ответ, потому что думаю, что мне легче начать с этой книги, прежде чем я прочитаю конспекты лекций Наира.
@Dilaton Да, я думаю, что с этого проще начать. Хотя я видел работы Наира, я раньше не видел этот набор заметок, опознанный Дэвидом. Вероятно, неплохо было бы прочувствовать «обычные» твисторы, прежде чем переходить к их суперсимметричным версиям.
Уважаемый @twistor59, спасибо, что расширили этот ответ до такого приятного введения и первого резюме. Конечно, прочитав ее один раз, я не понимаю всего в деталях, но она дает мне первое представление о том, что такое твисторы и как они применяются. Являются ли штрихованные индексы тем же самым, что и точечные индексы, применяемые, например, в SUSY? Значение бара в условии реальности меня немного смущает, так как в этом боке часто обнажаются спиноры с точечными индексами (если я правильно это помню)...
@Dilaton: например, вы можете увидеть антикоммутатор двух суперзарядов, записанный с точечными индексами как $\{Q_{\alpha},{\bar{Q}}_{\dot{\alpha}}\} = 2\sigma^{\mu}_{\alpha \dot{\alpha}}P_{\mu}$ Это будет, в обозначении этого поста, быть написанным $\{Q_A, {\bar{Q}}_{A'}\} = 2\sigma^{\mu}_{AA'}P_{\mu}$
В некоторых обстоятельствах люди используют спинор, помеченный символом с перемычкой, для обозначения независимой сущности от спинора без перемычки, а в некоторых случаях они используют спинор с перемычкой для обозначения сопряженного с неперемычкой, если первое, большинство авторов скажут это явно. Применение сопряжения преобразует спинорный индекс без точек -> с точками или наоборот.

Давид Бар Моше · Answer 2

Я хотел бы порекомендовать вам следующие конспекты лекций В.П. Наира. Эти конспекты лекций содержат очень краткую главу о твисторах, их связи с безмассовыми волновыми уравнениями и их использовании при построении амплитуд Янга-Миллса. Важность этой работы для меня состоит в том, что здесь Наир связывает эти два приложения с другим (может быть, менее известным) применением твисторов в теории квантования на геометрически нетривиальных многообразиях (таким как задача квантования частицы, движущейся по двум сфера в присутствии монополя).

Спасибо, кажется, это объясняет то, что я, наконец, хочу знать... :-)

только учится · Answer 3

Также смотрите лекции Мацея Дунайского

Твисторная теория и дифференциальные уравнения

(есть также слайды )

и его книга

Солитоны, инстантоны и твисторы

Нежное знакомство с твисторами

Дилатон

Ответы (3)

твистор59

Дилатон

Дилатон

твистор59

Дилатон

твистор59

твистор59

Давид Бар Моше

Дилатон

только учится

Есть ли какие-нибудь практические результаты от «Twistor Uprising»?

Интегралы сечений квантовой теории поля

Диаграммы Фейнмана для теории ϕ4ϕ4\phi^{4} до порядка g2g2g^2

Программное обеспечение для расчета диаграмм Фейнмана

Литература по диаграммам Фейнмана для образования антипротонов в результате протон-протонных столкновений

Амплитуды MVH и метод унитарности

Ресурсы без математики для рисования диаграмм Фейнмана

В каком смысле петлевые диаграммы являются квантовыми поправками?

Зависящий от обрезания «обратный пропагатор» для перенормировки

Как вычислить квантовое эффективное действие из диаграмм Фейнмана 1PI?