Амплитуды MVH и метод унитарности

Идеи MHV связаны, как правило, с амплитудами рассеяния глюонов в теориях Янга Миллса. Большая часть фундаментальной работы была проделана с$\mathcal{N}=4$суперсимметричная теория Янга Миллса, хотя я считаю, что были и другие расширения.

Решаемая проблема состоит в том, что у вас есть n глюонов, встречающихся в вершине, некоторые входящие, некоторые исходящие, и вы хотите вычислить амплитуду рассеяния. Предполагается, что мы хотим рассматривать процессы с очень высокой энергией, поэтому глюоны можно эффективно рассматривать как безмассовые. Следовательно, чтобы указать входящий или исходящий глюон, нам нужно только указать его (нулевой) импульс и его спиральность (нам также потребуется цвет, но это можно эффективно отложить в сторону с помощью упорядочения цветов ).

Вычисление амплитуды традиционным способом с использованием диаграмм Фейнмана быстро становится невозможным по мере увеличения числа рассматриваемых глюонов (см. слайды 4 и 5 для случая с пятью глюонами в этом докладе Цви Берна ). Ответ был предложен (я думаю) Парком и Тейлором и представлял собой чрезвычайно простую формулу:

Здесь лямбды являются спинорами Вейля (два). Нулевой вектор$p^a$можно записать как произведение нештрихованного и комплексно-сопряженного спинора.$p^a = \lambda^A \bar{\lambda}^{A'}$. Здесь обозначение$\langle i,j \rangle := \epsilon_{AB}\lambda_i^A \lambda_j^B$используется, где$\epsilon_{AB}$является антисимметричным двуспинором. Формула дает амплитуду для n глюонов, два из которых (j и k в этом примере) имеют спиральность, противоположную другим. (Случаи, когда ни одна из спиральностей не отличается, или одна из них имеет нулевые амплитуды).

Формула Парка Тейлора была проверена для небольших чисел глюонов прямым вычислением.

Если вы отойдете от критерия MHV (но останетесь на уровне дерева) и будете иметь, скажем, рассеяние глюонов со спиральностью 3+ и 3-, большим сюрпризом станет то, что ВСЕ ЕЩЕ существует способ записать амплитуду рассеяния в виде аккуратная и лаконичная форма. Это произошло благодаря использованию рекурсивных соотношений BCFW. Здесь амплитуды MHV рассматриваются как строительные блоки и соединяются друг с другом различными способами.

В этих формулах амплитуды рассеяния интересно то, что они демонстрируют множество симметрий. Они обладают конформной симметрией — конформная группа действует на них естественным образом. У них также есть «двойная конформная симметрия» — если взять импульсы глюонов, они в сумме равны нулю (очевидно). Если вы представите это, поместив векторы импульса лицом к хвосту в импульсном пространстве и пометив точки, где векторы встречаются, то в ЭТОМ пространстве также будет действовать конформная группа. Итак, большой вопрос: откуда берутся все эти симметрии?

Было бы поучительно, если бы проблемы можно было переформулировать таким образом, чтобы эти симметрии были явными с самого начала. Один ключ к этому был дан, когда Виттен переформулировал проблему амплитуды MHV в твисторном пространстве. Когда это было сделано, оказалось, что для амплитуд древесного уровня твисторы, соответствующие глюонам, лежат на прямой ($\mathbb{C}P^1$) в твисторном пространстве. Как хорошо известно из знаний о твисторах, линии в твисторном пространстве параметризуются точками в пространстве-времени. Здесь точка в пространстве-времени является вершиной рассеяния. Другие амплитуды рассеяния, в том числе с петлями, соответствовали случаям, когда глюонам соответствовали твисторы, лежащие на кривых другого рода в твисторном пространстве. В этом контексте ключевой особенностью твисторного пространства является то, что оно обладает естественным конформным групповым действием. Таким образом, выполнение вычислений в твисторном пространстве будет проявлять конформную симметрию на каждом шаге, и вы, естественно , в конечном итоге получите конформно-симметричные амплитуды.

Достаточно актуальную картину этих «вдохновленных твисторами» переформулировок задач рассеяния см. здесь (я понимаю только около 10% из них).

Переходя к вашему вопросу о том, почему эти методы работают, ну, по словам Нимы Аркани-Хамед, это потому, что традиционный путь через диаграммы Фейнмана заставляет проявлять пространственно-временную локальность и унитарность на каждом этапе расчета. Это происходит за счет проявления конформной инвариантности. Более естественный способ выполнения этих расчетов рассеяния глюонов состоит в том, чтобы продемонстрировать (двойную супер-) конформную инвариантность на этапах расчета и просто проверить, что результат соблюдает унитарность. На самом деле, по его мнению, это указывает на то, что в конечном итоге, когда мы найдем правильный способ сформулировать физику, картина пространства-времени будет скорее эмерджентной, чем фундаментальной, отсюда и его лозунг «пространство-время обречено».

Я считаю, что эти методы (вершины MHV/рекурсивные отношения BCFW) даже использовались для вычисления фона для экспериментов LHC, так что они представляют гораздо больше, чем просто академический интерес. Такое ощущение, что если бы мы лучше поняли, ПОЧЕМУ они работают, у нас была бы большая стрелка, указывающая на полезную переформулировку физики, и эта стрелка указывает в сторону от пространства-времени как предпочтительной структуры.

прежде всего: метод унитарности не нов. Он известен в основном с 60-х годов и восходит к работам Катковски и был расширен в работах Берна, Диксона, Данбара и Коуозера в 90-х годах. Идея состоит в том, что если вы разрежете амплитуду пополам, все частицы будут заменены в канале разреза. По сути, это просто утверждение о вероятностях, суммирующихся с единицей, так что это не большое волшебство. Теперь есть расширение этой так называемой обобщенной унитарности, которое включает в себя многократное сокращение амплитуд. Разрезание в основном означает замену пропагаторов петли дельта-функциями, так что, в конце концов, вы заменяете амплитуду петли на разрез произведениями амплитуд дерева, которые известны и намного проще, чем реальная амплитуда петли. Это довольно хороший способ расчета амплитуды петли, и он, например, использовался в недавней попытке показать, что максимальная супергравитация конечна. В то время как унитарные разрезы Катковского, как я уже сказал, имеют физическую интерпретацию, обобщенная унитарность не так уж и велика. По крайней мере, ни один из тех, о которых я знаю.

Во-вторых, амплитуды MHV — это всего лишь один класс амплитуд: с двумя отрицательными спиральностями и остальными положительными. Они были известны и доказаны в 80-х Парке, Тейлором, Берендсом и Гиле. Для полного ответа вы должны рассмотреть также все другие конфигурации спиральности. На уровне дерева вычисление может быть остановлено с помощью упомянутой выше рекурсии BCFW, тогда как на уровне цикла необходимо использовать другие средства. Например, обобщенная унитарность.

Почему же эти амплитуды такие простые? В некотором смысле это похоже на то, что графики Фейнмана (вне оболочки) являются изношенной системой координат. Координаты на оболочке, такие как спиноры/твисторы, кажутся правильными. Это похоже на проблему движения Земли вокруг Солнца. Вы можете сделать все в декартовых координатах, но между ними это будет выглядеть ужасно. Если учесть симметричность задачи, все вычисления станут намного проще. В каком-то смысле теперь спиноры/твисторы лучше всего учитывают «симметрию».

Ваше здоровье

Чтобы добавить к хорошему ответу @twistor59...

За последние несколько лет был достигнут прогресс, и самая последняя и исчерпывающая статья: «Амплитуды рассеяния и положительный грассманиан».

Обновленная картина на данный момент, кажется, фундаментально зависит от перестановок и математических объектов, называемых грассманианами Gr(k,n) (множество всех k-плоскостей в n-мерном пространстве).

Фундаментальные взаимодействия в YM (представленные в виде плоских графов, а НЕ диаграмм Фейнмана) состоят из двух типов трехчастичных вершин, которые соответственно переставляют взаимодействующие частицы по часовой стрелке и против часовой стрелки. Построение графов из этих вершин делает графы, соответствующие «украшенным» перестановкам. Эти амплитуды можно канонически сформулировать в твисторном пространстве. Выполнение условий согласованности (таких как сохранение импульса) и интегрирование по грассманиану в твисторном пространстве дает парциальную амплитуду.

Что касается приложений этих разработок, помимо вычислительных улучшений, кажется, что они могут способствовать лучшему пониманию структуры теорий Янга-Миллса. Например, суперконформная и дуально-суперконформная симметрия проявляются как раз$SL(4)$действие на твисторные и дуально-твисторные переменные, что делает симметрию теории менее загадочной.

Примечание. Длинная статья, кажется, объясняет некоторые вещи и поднимает множество других интересных вопросов. Я все еще пытаюсь понять содержание, и то, что я сказал выше, отражает мое текущее (неполное) понимание.