Это своего рода продолжение этого и этого предыдущих обсуждений.
В первой из моих ссылок видна сюръективная изометрия между реальным и сложным сигнатурное пространство Минковского и действительная или комплексная (соответственно) развертка матриц Паули должны быть заданы как используя стандартные матрицы Паули .
(..в выражении, аналогичном приведенному выше в ответе Любоша, у него есть ..который, кажется, имеет и индексы в неожиданных (неправильных?) местах и не кажется обратным ..)
Во второй из моих ссылок ответ Любоша говорит, что отношения между и является отражением того факта, что является двойным покрытием (следовательно, локально изоморфным) .
Это сбивает меня с толку, поскольку, как указано в том же ответе, вектор можно рассматривать как тензорное произведение и представления (.. левый и правый фермионы Вейля ..)
Следовательно, это не отношения между и а приведенная выше интерпретация исходит из того, что комплексифицированный пространство подписи Минковского поддерживает представительство ?
Или он существует в какой-то неявной форме, поскольку Любосу, похоже, не нужно условие нулевого твистора, как требуется в ответе Роя Симпсона для отображения в реальное пространство Минковского.
Вышеприведенное отображение между и кажется, в нем построено самое отрицательное соглашение о знаках для метрики. ( ) Как изменить отображение, если вы хотите работать в наиболее позитивном соглашении о знаках?
После того, как вы нанесли на карту пространственно-временной вектор к когда это правда, что теперь можно найти левый и правый киральные спиноры Вейля и такой, что ?
Только когда является нулевым вектором, как в случае современного применения рассеяния быстрых глюонов, где их массой пренебрегают? (.. но я смущен, почему не оба и используется для каждого из глюонов, но только для одного, в зависимости от идентификации входящей/исходящей (анти)частичной природы..)
Я использую соглашение о наличии обоих и вниз, как я вижу во многих недавних работах по теории струн. Думаю, иногда хочется написать индекс сопряженных представлений ( ) наверху и вниз по лестнице.
Матрицы явно являются просто обратными матрицами, которые умножают «биспинорные компоненты» вектора, чтобы получить обычную компоненту вектора. Так является обратным к - вы лечите индексы как строки и столбцы - и это обратное также может быть получено простым повышением векторных индексов через и спинорные индексы через и т. д.
Так что вся эта дискуссия была просто для того, чтобы сказать, что
локально изоморфна и наоборот. Это означает, что неприводимые представления этих двух групп (допускающие любые фазовые сдвиги при поворотах на 360 градусов) могут быть получены из тензорных произведений фундаментальных представлений . Поскольку фундаментальные представления сложны, их два, и , а неприводимые представления
Условия реальности представлений
Это ответ на другой ваш вопрос. Если , то не нужно думать о сложном представлении, потому что представление можно сделать реальным: есть естественное условие реальности (коммутирующее с действием группы), которое можно наложить, чтобы превратить сложное представление в реальное.
Это представление определяется также можно рассматривать как продолжение аналогичного представления который локально изоморфен . Однако, явно не является локально изоморфным - эквивалентно, не является локально изоморфным . Однако комплексообразование всех этих групп одинаковое – это что локально совпадает с – это означает, что всегда можно получить представление одной из групп, продолжив представления другой. Поскольку неприводимые представления очевидно, задаются двумя независимыми угловыми моментами, , по одному на каждый фактор, то же верно и для хотя сама группа не распадается на два фактора (прямой продукт). Тот факт, что два независимых должны быть указаны для имеет другое объяснение, а именно, что его основное представление сложное, поэтому на самом деле есть два неэквивалентных основных повторения.
Подпись
Если вы хотите, чтобы определитель сменил знак, вы просто умножаете по . Это работает просто потому, что . Если вы думали, что шокирующее число, это не так: некоторые матрицы неизбежно являются чисто мнимыми, независимо от вашего соглашения (обратите внимание, что матрица Паули чисто мнимое, например). Умножая их все на или превращает действительные в чисто мнимые и наоборот: это эквивалентно изменению соглашений для «в основном положительных» или «в основном отрицательных» метрических тензоров.
Факторизация векторов
Иногда можно факторизовать . Однако это явно не относится ко всем векторам. . Просто рассчитайте используя этот анзац. Вы получите это который тождественно равен нулю, поскольку каждый множитель равен нулю. Обратите внимание, что исчезает, потому что это антисимметричный тензор, стянутый с симметричным. Таким образом, можно факторизовать только нулевые векторы. Но да, все они могут. Если должен быть комплексно-сопряженным , затем должен быть реальным нулевым вектором, направленным в будущее (или в прошлое, в зависимости от соглашения о подписи, обсуждаемом выше), чтобы декомпозиция существовала.
Нет никакого «соглашения», если вы пишете выражения только со всеми индексами. Всегда можно поднять и понизить спинорные индексы, используя : нужно только решить, как индексы упорядочены в этом который влияет только на общий знак.
Я чувствую, что в приведенном выше обсуждении используется много простых тождеств и шагов, с которыми вы, возможно, не знакомы, например, повышение и понижение индексов спинора с эпсилоном и вещи, которые следуют из переводов, таких как
Рон Маймон