Идентичные частицы в квантовой механике

Давайте сначала обсудим случай различимых частиц: чтобы изучить систему двух различимых частиц, вы должны рассмотреть гильбертово пространство$\mathscr{H} \equiv \mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2$, где$\mathscr{H}_1$является гильбертовым пространством частицы один и$\mathscr{H}_2$гильбертово пространство частицы два. Общее состояние$|\psi\rangle \in \mathscr{H}$можно расширить следующим образом:

$$|\psi\rangle = \sum\limits_{ij} c_{ij}\, |i\rangle\otimes |j\rangle \quad ,$$

где$\{|i\rangle\}_i$и$\{|j\rangle\}_j$являются полными ортонормированными базисами в$\mathscr{H}_1$и$\mathscr{H}_2$, соответственно. Соответствующее представление позиционного пространства тогда читается

$$\left(\langle x_1| \otimes \langle x_2 |\right) |\psi\rangle \equiv \psi(x_1,x_2) = \sum\limits_{ij} c_{ij}\, \left(\langle x_1| \otimes \langle x_2 |\right)|i\rangle\otimes |j\rangle \equiv\sum\limits_{ij} c_{ij} \,\phi_i(x_1)\, \varphi_j(x_2) \quad ,$$ с$\langle x|i\rangle \equiv \phi_i(x)$и$\langle x|j\rangle \equiv \varphi_j(x)$.

Как видите, вам действительно нужны два индекса позиции,$x_1$и$x_2$, чтобы записать волновую функцию составной системы. Это необходимо для того, чтобы математический формализм имел смысл: чтобы правильно рассчитать все ожидаемые значения, нам нужна информация об обеих частицах, а не только об одной.

Относительно вашего второго вопроса: в случае одной частицы мы интерпретируем (учитывая, что волновая функция нормирована)$|\Psi(x)|^2 \mathrm{d} x$как вероятность того, что вы найдете частицу в элементе объема$\mathrm{d}x$вокруг$x$. Аналогично, в случае двух частиц имеем$|\psi(x_1,x_2)|^2 \mathrm{d}x_1\, \mathrm{d}x_2$соответствует вероятности найти частицу один в$\mathrm{d}x_1$вокруг$x_1$и частица два в$\mathrm{d}x_2$вокруг$x_2$.

Вся дискуссия была о различимых частицах. В случае двух неразличимых частиц вы должны рассмотреть антисимметричное и симметризованное подпространства$\mathscr{H} \equiv \mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_1$: Для фермионного случая двух частиц вам нужно$\mathscr{H}_{\mathrm{F}} \equiv \mathscr{H}_1 \wedge \mathscr{H}_1$, а двухбозонное гильбертово пространство$\mathscr{H}_{\mathrm{B}} \equiv \mathscr{H}_1 \vee\mathscr{H}_1$. В этих случаях вам по-прежнему нужны две метки положения, каждая для одной частицы. Однако, в отличие от различимого случая двух частиц, мы имеем, что$|\psi_{\mathrm{F}/\mathrm{B}}(x_1,x_2)|^2 = |\psi_{\mathrm{F}/\mathrm{B}}(x_2,x_1)|^2$, что следует из свойств симметрии волновой функции для (двух) одинаковых частиц. Это приводит к тому, что вероятность найти одну из двух частиц на$x_1$а другой в$x_2 \neq x_1$дан кем-то

$$2!\, |\psi_{\mathrm{F/B}}(x_1,x_2)|^2\mathrm d x_1\,\mathrm dx_2 \quad .$$

Заметьте, что больше нет смысла говорить о частице один и частице два, как в случае различимых частиц.

Я бы подумал, что волновая функция (даже для системы из двух частиц) просто будет иметь значение для каждой точки в пространстве и во времени, и поэтому будет просто:$Ψ(\mathbf{r},t)$

Для двухчастичной системы в одном измерении Вам нужно$2$координата (исключая время в секунду), одна указывает координату для одной частицы, а другая для другой частицы. Вы можете понять это с точки зрения степени свободы.

Обратите внимание, что мы не задаем точное положение частиц через волновую функцию, а только вероятность того, что они находятся в какой-то точке (или, скорее, в каком-то интервале).

---

Основы

Для системы с двумя частицами в одном измерении (дальше мы можем обобщить это на большее количество измерений) мы можем определить кеты

$$|x_1\rangle\otimes |x_2\rangle \longleftrightarrow \begin{cases} \text{particle 1 at} \ x_1\\ \text{particle 2 at} \ x_2 \end{cases}$$ Тогда волновая функция для двух частиц может быть записана как $$|\psi\rangle =\sum_{\omega_1}\sum_{\omega_2}C_{\omega_1,\omega_2}|\omega_1\rangle \otimes |\omega_2\rangle$$ где$|\omega_1\rangle$и$|\omega_2\rangle$являются собственными множествами оператора$\Omega_1^{(1)}$и$\Omega_2^{(2)}$(оператор на$\mathcal{V}_1$и$\mathcal{V}_2$).

На основе положения это станет

$$\psi(x_1,x_2)=\sum_{\omega_1,\omega_2}C_{\omega_1,\omega_2}\omega_1(x_1)\omega_2(x_2)$$

Я отвечу на ваши вопросы в обратном порядке.

Я полагаю, у меня даже есть проблема с «координатами первой частицы» — разве это не означает, что мы знаем точное положение частиц, когда мы пытаемся найти их волновую функцию, которая обязательно разбросана.

Просто подумайте о случае с одной частицей. Мы можем говорить о «координате частицы$x$', а волновая функция$\Psi(x)$является комплекснозначной функцией этой координаты. Координата — это просто метка для возможных положений — это не означает, что мы знаем, что частица находится в каком-то конкретном месте, поскольку$\Psi(x)$не обязательно должна быть дельта-функцией.

У меня небольшая проблема с этим. Я бы подумал, что волновая функция (даже для системы из двух частиц) будет просто иметь значение для каждой точки в пространстве и во времени, и поэтому будет просто: Ψ(𝑟,𝑡)

Это действительно тонкий момент, и это действительно один из ключевых моментов в основе квантовой механики.

Когда вы впервые знакомитесь с квантовой механикой, вы склонны думать о волновой функции как о «подобии» электрического поля, но вместо вектора в каждой точке пространства у вас есть комплексное число. Тогда вы можете подумать, что естественным обобщением двух частиц является наличие двух полей. Например, по аналогии вы можете подумать о двух полях, таких как электрическое и магнитное поля, и поэтому у вас есть два вектора в каждой точке пространства.

На самом деле это очень неправильное обобщение. Лучшей аналогией для квантовой механики является теория вероятностей. Допустим, я хочу узнать вероятность дождя в понедельник и вторник. Вы можете сказать: «Вероятность дождя в понедельник составляет 10 %, а во вторник — 10 %, и я умножаю их вместе». Но это не очень хорошая модель, потому что эти события взаимосвязаны . Если в понедельник идет дождь, то вероятность того, что он пойдет во вторник, выше.

В квантовой механике нам нужно связать одно комплексное число (называемое амплитудой вероятности ) с каждым состоянием системы. Для двух частиц состояние системы будет таким: «Частица 1 находится в точке$x_1$а частица 2 находится в положении$x_2$." Мы можем записать комплексное число, связанное с этим состоянием, как$\Psi(x_1,x_2)$. Тогда вы могли бы подумать, по аналогии с ситуацией с электрическим/магнитным полем, что вы могли бы разложить это комплексное число на комплексное число, связанное с частицей 1, и на комплексное число, связанное с частицей 2:$\Psi(x_1,x_2)=\Psi_1(x_1)\Psi_2(x_2)$. В общем случае это неверно, потому что мы хотим учесть случай, когда положение частицы 1 коррелирует с положением частицы 2. Следовательно, мы должны думать о двухчастичной волновой функции, живя в пространстве, которое является 6-мерным, 3-мерным для частицы 1 и 3-м для частицы 2.

Сказав это, есть определенные ситуации, когда частицы 1 и 2 можно считать некоррелированными, и в этом случае можно разлагать их.$\Psi(x_1,x_2)=\Psi_1(x_1)\Psi_2(x_2)$. Это верно и для теории вероятностей: если у нас есть два кубика и мы хотим узнать вероятность того, что на обоих выпадет 6, то мы фактически можем умножить вероятность того, что на первом кубике выпадет 6, а на втором кубике выпадет 6. , так как это два независимых события. Однако в целом это не так.

Что бы это ни стоило, я лично считаю, что этот предмет становится более запутанным из-за того, как его преподают, что часто заключается в том, чтобы вводить тему с проблемами двух частиц, где частицы не коррелированы, а волновые функции для каждой частицы могут быть разделены. Как я пытался подчеркнуть, это всего лишь частный случай, и если вы не будете осторожны, вы можете получить неправильное представление о том, как обобщить квантовую механику с 1 на 2 частицы.

@Jacobидеальный ответ трудно улучшить. Я просто попытаюсь прямо указать на одну путаницу, на которую вы намекаете в своем вопросе.

Когда мы говорим о$\psi(x_1)$, это не значит, что$x_1$это положение частицы$1$. Это означает, что$\psi(x_1)$- амплитуда вероятности обнаружения частицы$1$на позиции$x_1$. Так как есть две частицы, есть два положения, которые вы можете измерить одновременно, и, таким образом,$\psi(x_1)$– амплитуда вероятности того, что частица$1$находится в$x_1$и$\phi(x_2)$– амплитуда вероятности того, что частица$2$находится в$x_2$.

Другими словами, давайте представим, что вы даже не знали, что у вас есть две частицы, но что вы все равно обнаружите, когда пойдете и проведете эксперимент, так это то, что есть два положения, которые вы можете измерить одновременно — так что мы необходимо описать эти две амплитуды вероятности. Так же, как когда у нас есть одна позиция для измерения, и мы говорим о$\psi(x)$, мы не имеем в виду, что частица находится в определенном положении$x$а скорее мы имеем в виду, что мы говорим об амплитуде вероятности нахождения частицы в$x$при измерении, точно так же, когда у нас есть два положения, мы можем говорить о$\psi(x_1)$и$\phi(x_2)$.

Как @Jacobответ объясняет в математических деталях, полная волновая функция системы будет либо фермионным/бозонным произведением$\psi(x_1)$и$\phi(x_2)$для идентичных частиц, и это был бы простой внешний продукт для различимых частиц. Интуитивно понятно, что для различимых частиц полная волновая функция может быть просто$\psi(x_1)\phi(x_2)$(очень грубо, как умножаются вероятности независимых событий). Для неразличимых частиц вы должны убедиться, что волновая функция инвариантна (с точностью до полной фазы) при обмене двумя частицами (произвольное число раз) — это приводит к двум вариантам: симметричный/антисимметричный$\psi(x_1)\phi(x_2)\pm\psi(x_2)\phi(x_1)$.

Я бы подумал, что волновая функция (даже для системы из двух частиц) просто будет иметь значение для каждой точки в пространстве и во времени, и поэтому будет просто:$\Psi(r,t)$.

Ну, это не то, как работает уравнение Шредингера для систем многих частиц. Трудно понять, как это могло бы работать - что бы гамильтониан использовал для взаимодействия двух, трех или более электронов, который относится только к одному вектору положения$\mathbf r$быть? Нам нужно больше векторов для описания конфигурации и взаимодействия многочастичных систем. Стандартный способ описания взаимодействия электронов - с помощью коломбовских терминов.

$$\frac{Kq_iq_k}{|\mathbf r_i-\mathbf r_k|}$$ где, очевидно, нам нужны другие координаты$\mathbf r_i$ $\mathbf r_k$. Если бы они были одинаковыми, то условия взаимодействия всегда были бы бесконечными и бессмысленными.

Можно обойтись одним вектором$\mathbf r$для описания одноэлектронных атомов, потому что ядро ​​можно зафиксировать, но с$n$электроны, нам нужно$n$векторы положения.

Я полагаю, у меня даже есть проблема с «координатами первой частицы» — разве это не означает, что мы знаем точное положение частиц, когда мы пытаемся найти их волновую функцию, которая обязательно разбросана.

Нет, это не так. Это просто координата в конфигурационном пространстве, ее «значение» нам неизвестно. Это просто математическая переменная, помогающая нам вычислять ожидаемые средние значения различных величин (включая координаты). Но нет необходимости знать или различать частицы, чтобы использовать координаты и правила квантовой теории.