Всегда ли можно выразить оператор в терминах операторов создания/уничтожения?

Question

Всегда ли можно выразить оператор в терминах операторов создания/уничтожения?

закк

Я имею в виду "Интегральный подход к процессам рождения-смерти на решетке" , L. Peliti, J. Physique 46, 1469-1483 (1985), доступно по адресу: http://people.na.infn.it/ ~пелити/путь.pdf

Статья посвящена переформулировке основного уравнения для марковского процесса в терминах формализма интеграла по траекториям. Однако мой вопрос в основном касается квантовой механики.

Автор определяет гильбертово пространство $\mathcal{H}$ , ортогональный базис которого задается формулой $\mid n \rangle$ , $n \in \mathbb{N}$ , с:

⟨ н ∣ м ⟩ "=" н! {дельта}_{н, м}

$\langle n \mid m \rangle = n! \delta_{n,m}$

Операторы создания/уничтожения определены на $\mathcal{H}$ следующее:

а ∣ н ⟩ "=" н ∣ н - 1 ⟩

$a \mid n \rangle = n \mid n - 1 \rangle$

π ∣ н ⟩ =∣ н + 1 ⟩

$\pi \mid n \rangle = \mid n + 1 \rangle$

и их легко увидеть эрмитовыми сопряжениями друг друга в соответствии с только что определенным скалярным произведением.

Условные обозначения немного отличаются от квантовой механики, но это не имеет отношения к моему вопросу. Автор подразумевает, что можно переписать любой оператор $O: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ только в терминах (суммах произведений) операторов рождения/уничтожения.

Я не могу продемонстрировать это утверждение. Я попытался взять матричные элементы общего оператора $O$ , и демонстрируя, что все можно переписать в терминах $a$ и $\pi$ но на самом деле это не работает.

Майкл

Если вы напишете общий оператор

O = \sum_{n, m} o_{n, m} a^{† n} a^{m}

$O=\sum_{n,m} o_{n,m} a^{\dagger n} a^m$ и вычислив ее матричные элементы, вы получите бесконечную линейную систему. Вам нужно доказать, что эта система разрешима. Обратите внимание, что он имеет структуру, потому что любой термин с

n + m > i + j

$n+m>i+j$ не способствует

i j

$ij$ матричный элемент. Поэтому я бы рекомендовал индуктивную стратегию, группирующую уравнения по

n + m = 0, 1, 2, \dots

$n+m=0,1,2,\ldots$ . Все, что вам нужно сделать, это доказать, что есть достаточно новых коэффициентов

o_{n, m}

$o_{n,m}$ в каждом порядке решать новые уравнения, возникающие в этом порядке.

Тримок

Начиная с выражения:

O = \sum_{m, n = 0}^{+ \infty} A_{m, n} Π^{m} a^{n}

$O = \sum_{m,n=0}^{+\infty} A_{m,n} \Pi^m a^n$ , мы получаем :

O_{m^{'} n^{'}} = ⟨ m^{'} | O | n^{'} ⟩ = \sum_{m - n = m^{'} - n^{'}, n \leq n^{'}} \frac{n^{'}! m^{'}!}{n!} A_{m, n}

$O_{m' n'} = \langle m'|O|n' \rangle = \sum_{m-n=m'-n', n \leq n'} \frac{n'! m'!}{n!}A_{m,n}$ . Наконец, необходимо выразить

A_{m, n}

$A_{m,n}$ в функции

O_{m^{'} n^{'}}

$O_{m' n'}$ . Стоит начать с

n' = 0

$n′=0$ , увеличивать

m'

$m′$ по фиксированной

n'

$n′$ , затем увеличить

n'

$n′$ , и так далее.

Ответы (1)

Всегда ли можно выразить оператор в терминах операторов создания/уничтожения?

Если вы напишете общий оператор $O=\sum_{n,m} o_{n,m} a^{\dagger n} a^m$ и вычислив ее матричные элементы, вы получите бесконечную линейную систему. Вам нужно доказать, что эта система разрешима. Обратите внимание, что он имеет структуру, потому что любой термин с $n+m>i+j$ не способствует $ij$ матричный элемент. Поэтому я бы рекомендовал индуктивную стратегию, группирующую уравнения по $n+m=0,1,2,\ldots$ . Все, что вам нужно сделать, это доказать, что есть достаточно новых коэффициентов $o_{n,m}$ в каждом порядке решать новые уравнения, возникающие в этом порядке.
Начиная с выражения: $O = \sum_{m,n=0}^{+\infty} A_{m,n} \Pi^m a^n$ , мы получаем : $O_{m' n'} = \langle m'|O|n' \rangle = \sum_{m-n=m'-n', n \leq n'} \frac{n'! m'!}{n!}A_{m,n}$ . Наконец, необходимо выразить $A_{m,n}$ в функции $O_{m' n'}$ . Стоит начать с $n′=0$ , увеличивать $m′$ по фиксированной $n′$ , затем увеличить $n′$ , и так далее.

Qмеханик · Answer 1

Позволять

[а, а^{†}] "=" 1,

$[a,a^{\dagger}]~=~1,$

и разреши $|0\rangle$ быть вакуумным состоянием: $a|0\rangle=0$ . Определять

| н ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{н!}} (а^{†})^{н} | 0 ⟩ .

$|n\rangle~:=~ \frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{\dagger})^n|0\rangle.$

Затем

\begin{aligned} а | н ⟩ "=" & \sqrt{н} | н - 1 ⟩, \\ а^{†} | н ⟩ "=" & \sqrt{н + 1} | н + 1 ⟩, \\ ⟨ н | м ⟩ "=" & {дельта}_{н, м} . \end{aligned}

$\begin{align} a |n\rangle ~=~& \sqrt{n} |n-1\rangle, \cr a^{\dagger} |n\rangle ~=~& \sqrt{n+1} |n+1\rangle,\cr \langle n |m\rangle ~=~& \delta_{n,m}. \end{align}$

Рассмотрим соответствующее фоковское пространство ${\cal H}$ . Произвольный линейный оператор имеет вид

\begin{aligned} Т "=" & \sum_{н, м е Н_{0}} | н ⟩ Т_{н м} ⟨ м |, \\ Т_{н м} "=" & ⟨ н | Т | м ⟩ е С, \end{aligned}

$\begin{align} T~=~& \sum_{n,m\in\mathbb{N}_0} |n\rangle T_{nm} \langle m|, \cr T_{nm}~:=~&\langle n|T |m\rangle~\in~ \mathbb{C},\end{align}$

поэтому достаточно изучить операторы вида $|n\rangle \langle m|$ . Нетрудно увидеть, что

| н ⟩ ⟨ м | "=" \sum_{к е Н_{0}} с_{к}^{н м} (а^{†})^{н + к} а^{м + к},

$|n\rangle \langle m|~=~\sum_{k\in\mathbb{N}_0} c^{nm}_k (a^{\dagger})^{n+k} a^{m+k},$

где существуют уникальные коэффициенты $c^{nm}_k\in \mathbb{C}$ , который рекурсивно получается из соотношений

{дельта}_{к}^{0} "=" \sum_{р "=" 0}^{к} с_{к - р}^{н м} \sqrt{\frac{(н + к)!}{р!} \frac{(м + к)!}{р!}} .

$\delta_k^0~=~\sum_{r=0}^k c^{nm}_{k-r} \sqrt{ \frac{(n+k)!}{r!} \frac{(m+k)!}{r!} }.$

Меня беспокоит полнота базы. Как мы можем быть уверены, что все возможные состояния теории могут быть выражены как линейная комбинация состояний |n>? кстати спасибо за ответ.
Мы не можем. Полнота является (неявным) предположением.

Всегда ли можно выразить оператор в терминах операторов создания/уничтожения?

закк

Майкл

Тримок

Ответы (1)

Qмеханик

М111

Qмеханик

В каком смысле интеграл по траекториям является независимой формулировкой квантовой механики/теории поля?

Амплитуда вероятности движения от xixix_i до xfxfx_f на картинке Гейзенберга

Когда квантовая статистическая сумма находится в форме интеграла по путям, содержит ли она какие-либо операторы?

Каким математическим оператором является действие в квантовой механике?

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Об определении величины ожидания в квантовой механике

Что такое физические состояния в картине Гейзенберга?

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?