Нётеровы операторы заряда в электрослабой теории

Это интересный вопрос. Я думаю, что настоящая трудность заключается в понимании разницы между зарядами Нётер и тем, что мы обычно называем зарядом частицы. Заряды Нётер — это операторы, которые при воздействии на состояния дают значения, которые мы обычно называем «зарядами» различных частиц. Другими словами, заряды различных частиц являются собственными значениями нётеровского заряда при воздействии на состояния отдельных частиц.

Заряды Нётера могут действовать на одночастичные или многочастичные состояния, просто собственные значения являются зарядами этих состояний. Например, с изоспиновым зарядом Нётер, действующий на состояние с 3 нейтрино, будет иметь собственное значение$3/2$.

Чтобы в полной мере оценить взаимосвязь между зарядами Нётер и тем, что мы называем зарядами частиц, я думаю, важно увидеть подробный пример. Ниже мы получим это соотношение для изоспина. Ток Нётер, связанный с калибровочной симметрией, является глобальной версией этой симметрии. Рассмотрим$SU(2) _L$инвариантный лагранжиан:

$$\begin{equation} {\cal L} = i \nu ^\dagger _L \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu \nu _L + i e ^\dagger _L \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu e _L + h.c. \end{equation}$$ где $e _L$и $\nu _L$двухкомпонентные фермионы Вейля.

Сохраняющийся ток, связанный с симметрией, равен:

$$\begin{equation} j ^\mu = \alpha ^\alpha \left( \begin{array}{cc}\bar{\nu} _L & \bar{e} _L \end{array} \right) \bar{\sigma} ^\mu t ^a \left( \begin{array}{c} \nu _L \\ e _L \end{array} \right) + h.c. \end{equation}$$ где $t ^a$являются генераторами $SU(2)$. Это дает сохраняющийся заряд (обозначим его $T$так как мы хотим связать его с изоспином), $$\begin{equation} T = \alpha ^a \int d ^3 x \left( \begin{array}{cc}\bar{\nu} _L & \bar{e} _L \end{array} \right) t _a \left( \begin{array}{c} \nu _L \\ e _L \end{array} \right) + h.c. \end{equation}$$ где $\sigma ^0$является тождеством, и мы сохраняем его, поскольку он обеспечивает согласованность спинорных индексов. Мы хотим упростить этот оператор аналогично тому, что делается в КЭД для ЭМ-заряда (см., например, уравнение Пескина (3.113)).

Поскольку это должно выполняться для любого значения$a$, у нас фактически есть 3 сохраняющихся заряда,$T _1 , T _2 ,$и$T _3$. Это аналог углового момента, где у нас есть 3 сохраняющиеся величины,$J _x , J _y ,$и$J _z$. Однако, несмотря на то, что каждый из$T$сохраняются, мы не можем измерить все 3 одновременно. Мы обычно просто изучаем$T _3$,

$$\begin{equation} T _3 = \frac{1}{2} \int d ^3 x \left( \nu ^\dagger _L \nu _L - e ^\dagger _L e _L \right) + h.c. \end{equation}$$ Этот заряд принимает форму числового оператора для нейтрино и другого для электронов, но с относительным отрицательным знаком.

Мы можем записать его более явно, перейдя к четырехкомпонентной нотации, которая позволяет нам использовать знакомые четырехкомпонентные выражения для полей из, например, Peskin pg 54). Я должен отметить, что это можно так же легко сделать, используя менее знакомые двухкомпонентные выражения. Тем не менее у нас есть,

$$\begin{equation} \int \,d^3x \bar{\nu} \gamma _0 P _L \nu = \int \frac{ d ^3 p }{ (2\pi)^4 } \frac{1}{ 2E _p } \left( a _p ^{ s \dagger } a _p ^{ s ' } \bar{u} _p \gamma _0 P _L u _p ^{ s ' } + b _p ^{ s \dagger } b _{ p} ^{ s ' } \bar{v} _p ^s \gamma _0 P _L v _{ p } ^{s' } \right) \end{equation}$$ Теперь мы используем явные формы спиноров, чтобы получить $$\begin{align} u ^{s \dagger} _p P _L u _{ p } ^{ s ' } & = \xi ^{ s \dagger } p \cdot \sigma \xi ^{ s ' } \end{align}$$ Это выражение хорошо упрощается в случае безмассовых частиц (что имеет место здесь, поскольку $SU(2) _L$сохраняется), $$\begin{align} u ^{s \dagger} _p P _L u _{ p } ^{ s ' } & = E _p (1 - 2 s ) \delta _{ s s' } \end{align}$$ и у нас тоже есть, $$\begin{align} v ^{s \dagger} _p P _L v _{ p } ^{ s ' } & = E _p (1 - 2 s ) \delta _{ s s' } \end{align}$$ Поэтому, $$\begin{align} \int \,d^3x \nu _L ^\dagger \nu _L & = \int \frac{ \,d^3p }{ (2\pi)^3 } \sum _s \left( a _p ^\dagger a _p + b _p ^\dagger b _p \right) E _p ( 1 - 2 s ) \\ & = \frac{1}{2} \int \frac{ \,d^3p }{ (2\pi)^3 } \left( a _p ^\dagger a _p + b _p ^\dagger b _p \right) \end{align}$$ И частица, и античастица нейтрино вносят положительный вклад в заряд $T _3$. Кроме того, вклад вносит только один спин для каждой из частиц. Это потому, что мы работаем в безмассовом пределе, и у нас нет правых частиц (или левых античастиц).

Итого имеем (тривиально добавляем эрмитово сопряжение),

$$\begin{equation} T _3 = \frac{1}{2} \int \,d^3x \left( ( a _p ^\dagger a _p + b _p ^\dagger b _p ) - ( c _p ^\dagger c _p + d _p ^\dagger c _p ) \right) \end{equation}$$ где $c ^\dagger$и $d ^\dagger$являются операторами рождения левого электрона. Следовательно, положительный член подсчитывает количество нейтрино, а отрицательный член подсчитывает количество электронов. Каждый увеличивает или уменьшает заряд на $1/2$.