О доказательстве второго Тождества Бьянки

Вторая личность Бьянки

∇ [ а р б с ] г е "=" 0

Насколько я знаю, доказательство (скажем, Walfram Mathword ) начинается с утверждения представления тензора Римана в локальных инерциальных координатах

р а б с г "=" 1 2 ( ∂ а ∂ с г б г − ∂ а ∂ г г б с − ∂ б ∂ с г а г + ∂ б ∂ г г а с ) .

Затем мы вычисляем

∂ а р б с г е

соответственно. Тогда мы говорим, что оно истинно в локальной инерциальной координате, а после замены частной производной на ковариантную производную истинно вообще.

Меня беспокоит то, что я думаю, что мы не можем выразить тензор Римана и ковариантную производную в локальной системе отсчета один за другим, а должны одновременно. Сказать

∇ а р б с г е "=" 1 2 ( ∂ а + Г 1 ) ( ∂ а ∂ с г б г − ∂ а ∂ г г б с − ∂ б ∂ с г а г + ∂ б ∂ г г а с + Г 2 )

где Г 1 и Г 2 некоторые термины, включающие символ Кристоффеля. Когда мы касаемся только р б с г е в локальной рамке, Г 2 исчезает. Но теперь мы получаем новый термин

∂ а Г 2

исчезновение которого я не вижу, потому что оно включает в себя производное от символа Кристоффеля. Так что я думаю в локальной рамке ∇ а р б с г е не является ∂ а р б с г е .

Что-то не так?

Ответы (1)

Члены тензора Римана, включающие символы Кристоффеля, являются произведением двух символов Кристоффеля. Итак, если вы возьмете производную от произведения, вы получите произведения символа Кристоффеля с его производной. Но поскольку символ Кристоффеля равен нулю, то и произведение равно нулю.

О доказательстве второго Тождества Бьянки
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v