Расчет тензора Эйнштейна для слабого гравитационного поля

Я изучаю «Первый курс общей теории относительности » (2-е изд.) Бернарда Шютца. У меня есть некоторые трудности с выводом уравнения (8.32) на P.193, формы тензора Эйнштейна для слабого гравитационного поля, которое необходимо для вывода уравнения гравитационной волны в калибровочном уравнении Лоренца (9.1).

Я заметил, что для повышения индекса нужно использовать г мю ν ; последнее можно разложить с помощью уравнения (8.12), г α β "=" η α β + час α β , с час α β быть маленьким. Поэтому, игнорируя члены более высокого порядка в час один использует η мю ν поднять индексы.

Используя уравнение (8.31), час α β "=" час ¯ α β − 1 2 η α β час ¯ и уравнение (8.29) час ¯ ≡ час ¯ λ λ . Типичный член, который будет использоваться при вычислении тензора Римана, имеет вид

час α β "=" час ¯ α β − 1 2 η α β час ¯ λ λ
час α β , мю ν "=" час ¯ α β , мю ν − 1 2 η α β час ¯ λ λ , мю ν
Переупорядочив индексы, я записываю одно слагаемое, используемое в расчетах позже.
час мю β , α мю "=" час ¯ мю β , α мю − 1 2 η мю β час ¯ λ λ , α мю "=" час ¯ мю β , α мю − 1 2 час ¯ λ λ , α β

Теперь тензор Римана читается

р α β мю ν "=" 1 2 ( час α ν , β мю + час β мю , α ν − час α мю , β ν − час β ν , α мю )
Из чего получается тензор Эйнштейна
р α β "=" р мю α мю β "=" 1 2 ( час мю β , α мю + час α мю , мю β − час мю мю , α β − час α β , мю мю )
Подставляя отдельные термины, получают
р α β "=" 1 2 ( час ¯ мю β , α мю − 1 2 час ¯ λ λ , α β + час ¯ α мю , мю β − 1 2 час ¯ λ λ , α β − час ¯ мю мю , α β + 1 2 4 час ¯ λ λ , α β − час ¯ α β , мю мю + 1 2 η α β час ¯ λ λ , мю мю )
р α β "=" 1 2 ( час ¯ мю β , α мю + час ¯ α мю , мю β − час ¯ α β , мю мю + 1 2 η α β час ¯ λ λ , мю мю )

где используется факт 4 "=" η мю мю . Но полученное выражение соответствует только трем слагаемым в уравнении (8.31), последнее слагаемое отличается и не обращается в нуль в лоренцевской калибровке, я подумал, но никак не могу найти ошибку. Большое спасибо!

может быть, я неправильно понял ваш вопрос, но, чтобы повысить ваши шансы на получение ответа, не могли бы вы подумать о том, чтобы ввести полную форму уравнений Шютца (8.31) и т. д., поскольку они у вас есть.
Сделанный! Уравнение (8.31) и уравнение (8.12) добавляются.
Я снова, две вещи. Вы читали это: preposterousuniverse.com/grnotes/grnotes-six.pdf (или, если это не та конкретная страница, побродите по заметкам Кэрролла, она где-то там, посмотрите индекс или содержание) и eq(9.1) все еще, извините за это, уравнение (9.1) :)

Ответы (2)

р α β "=" р мю α мю β это не тензор Эйнштейна г α β , а тензор Риччи. Вы получаете тензор Эйнштейна через

г α β "=" р α β − 1 2 г α β р ,
с р "=" р   α α являющийся скаляром Риччи.

В вашем последнем уравнении для р α β , термин час ¯ мю мю , α β должны выпадать при расчетах. Затем, вычислив тензор Эйнштейна в калибровке Лоренца, вы получите правильное волновое уравнение для следа, обращенного к возмущению метрики.

Чтобы показать следующие шаги: у нас есть тензор Риччи, как вы написали, как

р α β "=" 1 2 ( час ¯ мю β , α мю + час ¯ α мю , мю β − час ¯ α β , мю мю + 1 2 η α β час ¯ λ λ , мю мю )
Скаляр Риччи
р "=" час ¯ мю ν , мю ν + 1 2 час ¯ λ λ , мю мю
Затем тензор Эйнштейна оценивается как
г α β "=" 1 2 ( час ¯ мю β , α мю + час ¯ α мю , мю β − час ¯ α β , мю мю − η α β час ¯ мю ν , ν мю )
Наложение калибровки Лоренца час ¯ мю ν , мю "=" 0 мы получаем
г α β "=" − 1 2 час ¯ α β , мю мю
поэтому волновое уравнение
час ¯ α β , мю мю "=" − 16 π г с 4 Т α β

Большое спасибо, что указали на ошибку. Дополнительный термин был опечаткой из-за копирования латексных уравнений, его не было в моих заметках. я вычитаю 1 2 г α β р , и я все еще не получаю правильный ответ.
Скаляр Риччи оценивается как
р "=" час ¯ мю ν , мю ν + 1 2 час ¯ λ λ , мю мю
Вычесть 1 2 г α β р из вашего выражения тензора Риччи и наложить калибровку Лоренца, и вы должны получить уравнение
час ¯ α β , мю мю "=" − 16 π г с 4 Т α β
Я точно не знаю, каков результат в вашей книге, но это волновое уравнение, которое вы должны получить.
Спасибо! Я понял...

введите описание изображения здесьвы можете найти подробности в рукописи

Добро пожаловать в физику! Обратите внимание, что на этом сайте включен MathJax , поэтому вы можете писать уравнения в формате, подобном Latex.
И вы ссылаетесь на рукопись - вы имеете в виду книгу в вопросе или какую-то другую ссылку? Просьба уточнить.
@JonCuster: я думаю, Кай имеет в виду, что детали на изображении
@KyleKanos - это тоже была другая мысль. Возможно, Кай пояснит. Спасибо.
Расчет тензора Эйнштейна для слабого гравитационного поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v