Задача о вычислении тензора кривизны nnn-мерной сферы

Я вычисляю тензор кривизны Римана, тензор кривизны Риччи и скаляр Риччи н сфера

Икс 0 2 + Икс 1 2 + . . . . + Икс н 2 "=" р 2 ,
чья метрика

г с 2 "=" р 2 ( г ф 1 2 + грех ⁡ ф 1 2 г ф 1 2 + грех ⁡ ф 2 2 грех ⁡ ф 1 2 г ф 2 2 + . . . . . . ) .

Я проделал то же самое для сферы 2 и обнаружил, что кривизна Римана с пониженным показателем пропорциональна произведению двух г ⋅ г , а тензор Риччи к г . Я надеюсь увидеть тот же результат для n-мерной сферы.

Я использую следующее выражение, которое можно найти у Schutz.

р α β мю ν "=" 1 2 ( г α ν , β мю − г α мю , β ν + г β мю , α ν − г β ν , α мю ) .

Хорошо видно, что только производные вида г ф п ф п , ф м ф н где м , н < п не равны нулю. Как показать, что тензор кривизны Римана пропорционален произведению метрических тензоров ? Тензор Риччи р я Дж "=" р я л Дж л "=" г л м р м я л Дж , поскольку метрический тензор является диагональным $ m = l, и приравнивая первый и третий индексы в выражении для кривизны Римана, что приведет к тому, что первый и третий члены равны нулю, поскольку производные равны нулю согласно приведенному выше аргументу, я получаю

р я Дж "=" − 1 2 г я л ( г л л , я Дж + г я Дж , л л ) "=" − 1 2 г л л г л л , я Дж .

Я предсказывал, что из случая двух сфер получится член, пропорциональный метрическому тензору. (Для случая 2 сфер р я Дж "=" 1 р 2 р я Дж ). Где я ошибаюсь? Как мне преобразовать его в форму, которая сводится к 2-сфере при замене, н "=" 2 .

Скалярное выражение Риччи гораздо ужаснее, р "=" г я м р м я "=" г я я р я я . Я дебильно расширил это и получил ужасное выражение в детская кроватка ⁡ ф который не может быть легко суммирован, в то время как мне нужно число, обратно пропорциональное р .

Любая помощь приветствуется.

Кроме того (возможно, это следует опубликовать как отдельный вопрос), могу ли я получить те же тензоры, используя какой-либо другой метод, например тетрады. Я слышал об этом, но мало что знаю. Так что было бы здорово, если бы кто-нибудь мог показать это специально для этого случая.

Я должен сообщить вам, что уравнение, которое вы используете для тензора кривизны, справедливо только в римановых нормальных координатах, а не вообще. Вы должны использовать выражение с символами christoffels.

Ответы (1)

Прямой расчет производных не так уж сложен. Но также можно быстро увидеть значения тензора Римана для сферы и подобных простых форм, используя определение тензора Римана через параллельный перенос векторов.

дельта В α "=" р α β γ дельта В β г Σ γ дельта
Вокруг точки сферы С г , транспорт вокруг области, заданной г Σ γ дельта при фиксированных значениях индексов (локально ортонормированный базис) позволяет увидеть, что все это происходит на С 2 только. Остальные размеры не затрагиваются. Вот почему вы получаете р α β γ дельта равно ( 1 / а 2 ) раз г α γ г β дельта − г α дельта г β γ . По сути, антисимметризованная пара индексов α β должно быть таким же, как пара γ дельта . Я не предполагал ничего особенного в этом вопросе; все точки на сфере одинаково хороши по симметрии. Таким образом, анзац для тензора Римана должен выполняться везде.

Обратите внимание, что оно умножается на 1 / а 2 , обратный квадрат радиуса сферы. Во многих ваших формулах он отсутствует; более того, вы используете сбивающий с толку символ р для радиуса, похожего на скаляр Риччи, другое дело.

В г "=" 2 , тензор Римана имеет только одну независимую компоненту, и формула для тензора Римана в терминах приведенного выше метрического тензора фактически выполняется для любой поверхности, если 1 / а 2 заменяется р / 2 . Обратите внимание, что двусфера имеет (скаляр Риччи) р "=" 2 / а 2 . Кроме того, тензор Риччи р я Дж "=" р г я Дж / 2 в г "=" 2 так что вакуумные уравнения Эйнштейна выполняются тождественно.

Для г "=" 3 , тензор Римана имеет 3 независимых компонента, как и тензор Риччи, поэтому тензор Римана можно записать в терминах тензора Риччи. Это неверно и для более высоких измерений.

Спасибо за ответ. Но, пожалуйста, не могли бы вы указать мне, как я могу показать р α β γ дельта "=" 1 а 2 ( г α γ г β дельта − г α дельта г β γ ) алгебраически из моего выражения тензора Римана, который имеет производные второго порядка от г ? Я понятия не имею, как производные могут исчезнуть, чтобы дать произведение метрических тензоров? Должен ли я оценивать двойные производные и по наблюдению записывать их в терминах метрического тензора? (Но на первый взгляд, я не знаю, как это можно сделать.)
@ramanujan_dirac Если вы дифференцируете синусы, они превращаются в косинусы, если вы снова дифференцируете, они снова превращаются в синусы (и наоборот), так что с небольшим количеством тригонометрии, я уверен, вы сможете извлечь метрические компоненты?
Уважаемый @ramanujan_dirac, позвольте мне просто поддержать то, что говорит твистор, и добавить еще кое-что. Если вы действительно используете дифференциальные формулы для конкретной метрики, вы не получите «общее элегантное» выражение для тензора Римана в терминах метрического тензора. Вы просто получите отдельные компоненты, и вы увидите, что форма этих функций одинакова - вы можете проверить идентичность "численно" (я имею в виду аналитически, но таким образом, который требует просмотра конкретных функций, кодирующих компоненты), так сказать.
Задача о вычислении тензора кривизны nnn-мерной сферы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v