Вариация термина, например ∂RabRab∂Rabcd∂RabRab∂Rabcd\frac{\partial R_{ab} R^{ab}}{\partial R_{abcd}}, ∂RabcdRabcd∂Refgh∂RabcdRabcd∂Refgh\frac{\partial R_ {abcd} R^{abcd}}{\partial R_{efgh}}

Начнем с того, что отметим, что

$$\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial\left(R_{caeb}g^{ce}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial\left(R_{cdef}\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}\right)}{\partial R_{cdef}},$$ предлагая ответ в духе$\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}$. Но из-за свойств антисимметрии тензора Римана существует более одного способа записать$R_{ab}$как противоречие$R_{cdef}$с тензором.

Нам нужна антисимметрия при обмене$c$с$d$, предлагая ответ в духе$\frac{1}{2}\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}-\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}g^{de}\right)$. Но и это не может быть совсем правильным: нам также нужна антисимметрия при замене$e$с$f$, предлагая ответ в духе$\frac{1}{4}\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}-\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}g^{de}-\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{e}g^{cf}+\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{e}g^{df}\right)$. Но нам еще нужно$cdef\to efcd$быть симметрией, дающей окончательный результат

$$\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}=X_{ab}^{cdef}:=\frac{1}{8}\left(\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}+\delta_{a}^{f}\delta_{b}^{d}\right)g^{ce}-\left(\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}+\delta_{a}^{f}\delta_{b}^{c}\right)g^{de}-\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{e}+\delta_{a}^{e}\delta_{b}^{d}\right)g^{cf}+\left(\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{e}+\delta_{a}^{e}\delta_{b}^{c}\right)g^{df}\right).$$

Обратите внимание, что каждый член имеет$ab$как более низкие индексы и$cdef$как верхние индексы.

По правилу произведения

$$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}R^{ab}+R_{ab}\frac{\partial R^{ab}}{\partial R_{cdef}}.$$ Мы можем изменить высоту$a,\,b$во второй срок, т. $$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=2R^{ab}X_{ab}^{cdef}.$$ Такие выражения, как$R^{ab}\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}=g^{ce}R^{df}$давать $$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{1}{2}\left(g^{ce}R^{df}-g^{de}R^{cf}-g^{cf}R^{de}+g^{df}R^{ce}\right).$$ Обратите внимание, что каждый член имеет$cdef$как верхние индексы и$ab$не существуют в правой части, так как это фиктивные индексы, сокращенные в левой части.

Для второй производной представьте, что вместо этого мы хотели$\frac{\partial \left(V_aV^a\right)}{\partial V_b}$для вектора; ответ будет$2V^b$, предлагая ответ типа$2R^{efgh}$. У него уже есть нужные свойства, так что мы закончили.

Из полезного комментария @JG,

$$\begin{align} \frac{\partial (R_{ab} R^{ab})}{\partial R_{cdef}} = 2 R^{ab} X^{cdef}_{ab}, \qquad X^{cdef}_{ab} = \frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}} \end{align}$$

Попробуйте вычислить

$$\begin{align} R_{\mu\nu} &= R_{abcd} g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c \\ & = \frac{1}{8} R_{abcd} (g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{bd} \delta_\mu^c \delta_\nu^a - g^{ad} \delta_\mu^b \delta_\nu^c - g^{ad} \delta_\mu^c \delta_\nu^b - g^{bc} \delta_\mu^d \delta_\nu^a - g^{bc} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{ac} \delta_\mu^d \delta_\nu^b + g^{ac} \delta_\mu^b \delta_\nu^d) \end{align}$$ где i антисимметризировал (a,b) и (c,d) и симметризировал пары (ab, cd), а также симметризировал $\mu,\nu$в боковых скобках

Таким образом, я предполагаю, что

$$\begin{align} X^{abcd}_{\mu\nu} =\frac{\partial R_{\mu\nu}}{\partial R_{abcd}} =\frac{1}{8} (g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{bd} \delta_\mu^c \delta_\nu^a - g^{ad} \delta_\mu^b \delta_\nu^c - g^{ad} \delta_\mu^c \delta_\nu^b - g^{bc} \delta_\mu^d \delta_\nu^a - g^{bc} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{ac} \delta_\mu^d \delta_\nu^b + g^{ac} \delta_\mu^b \delta_\nu^d) \end{align}$$

$$\begin{align} \frac{\partial R_{\mu\nu} R^{\mu\nu}}{\partial R_{abcd}} & = R^{a[c} g^{b]d} + R^{b[d} g^{a]c} =\frac{1}{2} \left( R^{ac} g^{bd} - R^{bc} g^{ad} - R^{ad} g^{cb} + R^{bd} g^{ca}\right) \end{align}$$

Я прав?