Неравномерное ускорение из-за резинового каната

Вы, конечно, хотите численно интегрировать ваше уравнение движения с учетом вашего выражения силы.

Я буду считать, что масса$m$крепится с одной стороны веревки, а другая сторона крепится к стене или чему-то, что не будет двигаться во время интеграции. Что-то вроде этого, где пружина на самом деле ваша веревка, с$x$удлинение веревки

Затем вы можете просто проинтегрировать (например, по схеме Эйлера) уравнение

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F(x)}{m}$$ Вот код Ruby, который я использую всякий раз, когда хочу получить численное решение ОДУ в механике:

##################################################
## Integration using Euler (mid-point) method knowing position x and speed xp=\dot{x}
##################################################

def integration(x,xp)
  dxp = force(x)*@dt
  dx  = (xp+dxp/2)*@dt
  return x+dx,xp+dxp
end


##################################################
## Force expression knowing position x
##################################################

def force(x)
  return -10*x
end


##################################################
## Effective integration loop
##################################################

@dt = 0.001  # time increment
t = 0  # initial time
x = 5  # initial position
xp= 0  # initial speed
10000.times do |i|
  t += @dt
  x,xp = integration(x,xp)
  puts "#{t}\t#{x}\t#{xp}"
end

Просто подключите свои начальные условия и задайте выражение из ваших измерений, и вы получите и позицию, и скорость во времени (NB: я взял$m=1$в моем коде, но вы можете добавить правильное значение где угодно в integrationфункции или в forceфункции [которая тогда будет переименована в «ускорение»]).

Вы также можете уточнить его, чтобы интегрировать по постоянному общему времени и выводить меньше результатов, чем у вас есть шагов интеграции (точность увеличивается с меньшим шагом интеграции, @dtно это может стать трудным для рисования, когда у вас есть миллион точек, просто чтобы быть более точным в интеграции)

Когда ускорение является функцией положения, используйте следующее

$$a(x) = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}x} \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}x} u$$

$$\int a(x)\,{\rm d} x = \int u\,{\rm d} u = \frac{1}{2} u^2 + K_1$$

который решается для$u(x)$.

Позиция находится из

$$t = \int \frac{1}{u(x)}\,{\rm d} x + K_2$$

который решается для$x(t)$.

Пример

$$a(x) = A\,x^{b}$$ $$\int A\,x^{b}\,{\rm d} x = \frac{A}{b+1} \left( x^{b+1}-1\right) = \frac{1}{2} u^2 + K_1$$

когда$u=0$в$x=0$затем$K_1 = \mbox{-} \frac{A}{b+1}$или

$$u(x) = \sqrt{\frac{2 A}{b+1} x^{b+1} }$$

Затем

$$t = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{2 A}{b+1} x^{b+1} }}\,{\rm d} x + K_2 = \sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}} \left( x^{\mbox{-}\frac{b-1}{2}}-1\right) + K_2$$

и когда$x=0$,$t=0$затем$K_2 = \sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}}$или

$$t = \sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}} x^{\mbox{-}\frac{b-1}{2}}$$

$$x(t) = \left( \frac{t}{\sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}}}\right) ^{\mbox{-} \frac{2}{b-1}} = \left( \frac{A (b-1)^2}{2 (b+1)}\right)^{\mbox{-}\frac{1}{b-1}} \;t^\left({\mbox{-}\frac{2}{b-1}}\right)$$

Если бы ваша масса была$m=1$затем$a=f(x)$на графике и

$$x=1.397882\, t^{3.058906}$$