О строгом определении функционального интеграла Фейнмана...

Определение, которое вы используете в своем вопросе, - это то, которое используют все, кто выполняет строгую пертурбативную перенормировку. Конкретный выбор метода BPHZ по сравнению с методом Эпштейна-Глейзера и т. д. не имеет значения. Они оба дают вам перенормированный$n$-точечные корреляционные функции как формальные степенные ряды$\hbar$(чуть более канонично) или перенормированная константа связи$g_{\rm R}$. Теперь проблема в том, что измерительный прибор обычно возвращает числовые значения, а не элементы$\mathbb{R}[[g]]$. Более того, вероятности квантовых переходов должны быть положительными. Как бы вы выразили унитарность для КТП, если все, что у вас есть, это формальные степенные ряды? Желательно иметь строгую конструкцию$G(x_1,\ldots,x_n)$как честные распределения, а не формальные степенные ряды с коэффициентами распределения. Это задача конструктивной квантовой теории поля.

---

Отредактируйте в соответствии с комментарием AFT: я не думаю, что так просто определить положительность для формальных степенных рядов, например, навязывая их по порядку. Хотя я должен сказать, что я не думал об этом вопросе, так что у некоторых может быть лучшее понимание этого. Если я посмотрю на формальный степенной ряд

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\hbar)^n}{n!}\ \in\ \mathbb{R}[[\hbar]]\ ,$$ Я не могу сказать, что это положительно, если я не подытожу его до $e^{-\hbar}$. Возможно, это даже не очень хороший пример, так как по крайней мере этот ряд сходится. Ожидается, что ряд возмущений в КТП будет иметь нулевой радиус сходимости, а общий член сильно колеблется по знаку и величине. Лучший пример - нульмерный $\phi^4$теория: $$Z(g)=\int_{\mathbb{R}} e^{-\phi^2-g\phi^4} d\phi$$ которое совершенно корректно определено и неотрицательно для $g\ge 0$. Соответствующая серия в $\mathbb{R}[[g]]$является $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-g)^n}{n!}\int_{\mathbb{R}} \phi^{4n}e^{-\phi^2} d\phi =\sum_{n=0}^{\infty} (-g)^n\ \frac{\Gamma\left(2n+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(n+1)}\ .$$ Более того, что понимать под позитивом? : P1) положительность для всех значений параметра $g$или $\hbar$, P2) положительность для одного конкретного значения, например $\hbar=1.05457\times 10^{-34}$, или P3) положительность для малых значений? Для P1 наложение положительности по порядку, например, усечение ряда в некотором $n$очень плохо. За $n$нечетный, есть многочлен нечетной степени, который будет принимать отрицательные значения. Я думаю, что P1 и P2 требуют процедуры суммирования, т.е. $\mathbb{R}[[g]]$к $\mathbb{R}$. Можно было бы определить P3 просто как положительность члена нулевого порядка, но это кажется слишком грубым.

Наконец, обратите внимание, что недавно была проведена работа по нарушению унитарности в КТП в нецелочисленной размерности (см. эту статью ). Я не смотрел на это, но я подозреваю, что они должны были как-то решить эту проблему позитивности.