О существовании динамики в КЭД

Это попытка отдельно спросить об аспектах моего предыдущего вопроса , который был закрыт как слишком широкий. Обратите внимание, что я настоятельно предпочитаю результаты, которые являются или могут быть математически полностью строгими. Первая часть связанного вопроса, касающаяся расходимости рядов возмущений, обсуждалась здесь .

Недавно я наткнулся на японскую статью 2014 года, опубликованную онлайн в Journal of Mathematical Physics:

Шиничиро Футакучи и Коута Усуи, «Построение динамики и упорядоченной по времени экспоненты для неограниченных несимметричных гамильтонианов», Журнал математической физики 55, 062303 (2014); doi: http://dx.doi.org/10.1063/1.4878737 или arxiv.org/abs/1309.5194v1

Эта статья довольно длинная и очень техническая; в частности, я не понимаю большую часть этого. Кроме того, похоже, что на него не ссылается никто, кроме самих авторов.

Содержание статьи — математически строгое построение ряда Дайсона для ненормальных неограниченных «гамильтонианов» и приложение к квантовой электродинамике. Хорошо известно, что теория взаимодействий, даже после любых процедур регуляризации или перенормировки, в настоящее время не имеет математически строгого описания, включая наблюдаемые и состояния. Мне кажется, что эта статья достигает этого! (хотя это, безусловно, звучит слишком хорошо, чтобы быть правдой, и я всерьез в это не верю.)

Позвольте мне попытаться обобщить то, что я считаю основными в применении их теории к КЭД (последняя треть статьи): Свободные, невзаимодействующие теории как фотонного поля (в лоренцевой калибровке), так и спинорного поля Дирака для электрон-позитронного поля сначала определяются на их фоковских пространствах. Авторы приводят вторично квантованные гамильтонианы для обоих полей, которые являются неограниченными самосопряженными операторами и имеют ограниченный снизу спектр (они просто берут положительный корень в дисперсионном соотношении для спинорного поля). Затем на странице 24 они определяют гамильтониан взаимодействия:

$$H_{\text{int}}\Psi:=e \int_{\mathbb{R}^3}d^3x \ \chi(\mathbf{x})j^{\mu}(\mathbf{x})\otimes A_{\mu}(\mathbf{x})\Psi$$ в смысле сильного интеграла Бохнера, где $\chi\in L^1(\mathbb{R}^3)$реализует пространственную отсечку. Полевой оператор $A_{\mu}$является обычным выражением из свободной теории, а ток формируется из дираковского спинорного поля обычным образом. Область определения для $H_{\text{int}}$указывается в документе. Это взаимодействие оказывается плотно определенным, но не нормальным. Полный гамильтониан получается добавлением этого взаимодействия к свободным гамильтонианам, что в сумме дает гамильтонов оператор, определенный на тензорном произведении двух фоковских пространств.

То есть взаимодействие задается минимальной связью, что как раз и записывается обычно и к чему применяется теория возмущений. Теория возмущений, перенормированная таким (или подобным) образом, имеет в ряду конечные члены, однако мы ожидаем, что сам ряд не сходится (аргумент Дайсона). В статье доказано, что гамильтониан взаимодействия, а также полный гамильтониан (не являющийся самосопряженным)$\eta$-самосопряженным, что мне кажется математически строгой реализацией метода Губта-Блейлера, хотя я, конечно, не понимаю там деталей.

Конечным результатом является построение того, что они называют «эволюцией времени», которая представляет собой четко определенную изометрию, определенную на подмножестве полного гильбертова пространства. Он задается рядом Дайсона, который, как утверждается, сходится для подходящих состояний. Мне много раз говорили, что этого добиться невозможно, якобы есть даже результаты, говорящие о том, что это невозможно в принципе. Что мне не хватает в этой статье?

Еще одна вещь, которая меня несколько озадачивает, это то, что авторы совершенно не комментируют применение своих результатов. Например, можно ли использовать их временную эволюцию для вычисления (приблизительно) тех же амплитуд, что и по теории возмущений. Я действительно очень благодарен всем, кто кратко просмотрит это и скажет мне, какую, возможно, тривиальную деталь я упустил, что сделало бы дискуссию неуместной для физики, что должно было бы иметь место, судя по недостатку внимания к этому. бумага получена.