Оценка амплитуды КЭД с 1 внешним фотоном

Я сам нашел ответ, поэтому решил опубликовать его здесь, если кому-то интересно. Я рассмотрю каждый из подходов по очереди.

Подход 1

То, что я написал выше, явно неверно. Мы можем получить правильный результат, используя определение$S$-матрица и ее связь со свободными амплитудами теории. Это дается

$$\langle\Omega|S|q\rangle_\Omega = \left(\langle 0|T \exp\left\{-i\int d^4 x \mathcal{H}_I\right\}|q\rangle_0\right)_{\textrm{connected, amputated}}$$

где$\mathcal{H}_I$— плотность гамильтониана в картине взаимодействия (т. е. включает только гейзенберговские поля свободных теорий).

Теперь мы можем записать термины этого, используя теорему Вика и заметив (как обычно), что учитываются только полностью сокращенные термины. Первые нетривиальные члены схематично

$$\int \langle0|T-ie\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu|q\rangle + \int\int\int\langle0|(-ie)^3 \langle0|T\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu|q\rangle + \dots$$

где интегралы по пространству-времени. Теперь сокращение$A^\mu$с$q$дает$e^{-iq.x}\epsilon^\mu$. Если вы проигнорируете вектор поляризации и проверите правильность работы коэффициентов, вы проверите результат в P&S.

Обратите внимание, что ампутация рецепта не является проблемой, так как это относится только к внешней фотонной линии, которую мы игнорируем.

Подход 2

Формула LSZ, как я написал выше, была во многом правильной. Честно говоря, я понял, что сама по себе формула не годится для запоминания. Скорее, следует отметить, что$S$-матричный элемент может быть вычислен с помощью

• Преобразование Фурье соответствующей корреляционной функции
• вычисление остатка многочастичного полюса
• деление на соответствующие коэффициенты перенормировки напряженности поля

Соответствующая корреляционная функция в этом случае имеет вид$\langle\Omega|TA^\mu|\Omega\rangle$как я писал выше. Мы хотели бы связать это с корреляционной функцией$\langle \Omega|Tj^\mu|\Omega\rangle$. Ключевая идея (как указал Любош) состоит в том, чтобы использовать классическое уравнение движения, которое имеет вид

$$\Box A^\mu = -j^\mu$$

где$\Box$- некоторый дифференциальный оператор, обратный которому задается пропагатором Фейнмана для фотонов (под интегралом). Квантовым обобщением этого является уравнение Швингера-Дайсона.

$$\Box\langle\Omega|TA^\mu|\Omega\rangle + \langle\Omega|Tj^\mu|\Omega\rangle = \textrm{ contact terms }$$

который легко вывести в формализме интеграла по траекториям. Условия контакта не способствуют$S$-matrix, потому что они имеют неправильную структуру сингулярности. Таким образом инвертируя$\Box$мы находим контактные условия

$$\langle \Omega | TA^\mu(x) |\Omega\rangle = \int d^4y D_F^{\mu\nu}(x-y)\langle\Omega|Tj_\nu(y)|\Omega\rangle$$

откуда преобразование Фурье

$$\int d^4x e^{-iq.x}\langle\Omega|TA^\mu|\Omega\rangle = \int d^4y e^{-iq.y}\frac{(-i)}{q^2}\langle\Omega|Tj^\mu|\Omega\rangle$$

посредством преобразования Фурье функции Грина. Теперь, взяв остаток, когда фотон переходит «на оболочку», и игнорируя перенормировку поляризации и напряженности поля, мы снова получаем результат P&S.