Свойство эрмитовости "позиционных" операторов со скалярным произведением Клейна-Гордона

Прежде всего$H_0$можно изначально взять как множество решений КГ вида

$$\Phi(x) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb R^3} \phi_{\Phi}(\vec{k}) e^{i\left(\vec{k}\cdot \vec{x}-x^0k^0\right)} \frac{d \vec{k}}{\sqrt{2k^0}}\tag{1}$$ с$\phi$в пространстве функций Шварца и где $$k^0 :=\sqrt{\vec{k}^2 + m^2}\:.$$ При таком выборе мы легко видим, что $$\langle \Phi_1|\Phi_2\rangle = \int_{\mathbb R^3} \overline{\phi_{\Phi_1}(\vec{k})} \phi_{\Phi_2}(\vec{k}) d\vec{k}$$ Таким образом, действительный вид Гильберта есть завершение$H_0$относительно указанного скалярного произведения и очевидно, что оно изоморфно$L^2(\mathbb R^3, d\vec{k})$.

С этим определением вы видите, что$x^\mu$не является эрмитовым (оно не определено корректно, так как его образ находится вне гильбертова пространства: очевидно,$x^\mu\phi(x)$не является решением KG, если$\phi$это вообще). Однако$L_{\mu\nu}$эрмтова (и корректно определена в исходной указанной области). Точнее, по существу самосопряженным. Для доказательства эрмитовости достаточно передать операторы под знаком интегрирования, интегрируя по частям. Термин$k^0$, которая является функцией$\vec{k}$, дает вклад, но все вклады компенсируют друг друга ввиду структуры$L_{\mu\nu}$.

ПРИЛОЖЕНИЕ . Унитарное эквивалентное представление получается переопределением гильбертова пространства с использованием лоренц-инвариантной меры$\frac{d \vec{k}}{2k^0}$вместо$d \vec{k}$, так что гильбертово пространство$L^2(\mathbb R^3, d\vec{k}/2k^0)$.

При таком выборе (1) заменяется на

$$\Phi(x) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb R^3} \psi_{\Phi}(\vec{k}) e^{i\left(\vec{k}\cdot \vec{x}-x^0k^0\right)} \frac{d \vec{k}}{2k^0}\tag{2}\:.$$ Унитарное отображение, переплетающее два гильбертовых пространства, очевидно, $$L^2\left(\mathbb R^3, \frac{d\vec{k}}{2k^0}\right) \ni \psi_{\Phi} \mapsto (2k^0)^{-1/2}\psi_\Phi =: \phi_\Phi \in L^2(\mathbb R^2, d\vec{k}) \:.$$