На какие состояния действуют операторы рождения и уничтожения?

Пространство Фока определяется как прямая сумма всех н -частичных гильбертовых пространств ЧАС н

Ф "=" ЧАС 0 ⊕ ЧАС 1 ⊕ ЧАС 2 ⊕ . . .

Действуют ли операторы рождения и уничтожения (при вторичном квантовании) на фоковские состояния или на состояния, являющиеся элементами н -частичных гильбертовых пространств ЧАС н ?

Редактировать:

Чтобы быть более точным в моем вопросе: пусть | Ψ 2 ⟩ быть состоянием, которое описывает две частицы и, следовательно, является элементом ЧАС 2 . Насколько я понимаю, | Ψ 2 ⟩ не является состоянием Фока, так как общее состояние Фока будет выглядеть так: | Ψ ⟩ "=" | Ψ 0 ⟩ ⊕ | Ψ 1 ⟩ ⊕ | Ψ 2 ⟩ ⊕ . . .

Теперь мне интересно, действуют ли операторы создания и уничтожения на н -частичных гильбертовых пространств, таких как ЧАС 2 или на элементах всего фоковского пространства.

В первом случае с † : ЧАС н → ЧАС н + 1 должно быть верным, тогда как во втором случае с † : Ф → Ф должно быть правдой.

Меня просто интересует, на какие объекты действуют эти операторы.

Они могут работать с любым состоянием, другими словами, с любым элементом всего гильбертова пространства.
Прав ли я, предполагая, что каждый из ЧАС н содержит только один элемент? Однако гильбертово пространство также содержит все возможные суперпозиции всех различных элементов. Следовательно, писать is в виде прямой суммы не совсем корректно.
Нет, ЧАС н должно быть гильбертовым пространством н частиц и поэтому содержит все возможные н -состояния частиц.
Хорошо, но тогда вам нужны другие степени свободы, чтобы различать их, чего не видно в ваших обозначениях.

Ответы (1)

Каждый ЧАС н является подпространством пространства Фока, как вы можете определить | Ψ н ⟩ е ЧАС н с 0 ⊕ … ⊕ | Ψ н ⟩ ⊕ 0   ⊕ . . . е Ф

Как операторы создания с † обычно определяются следующим образом: определить первые операторы с н † : ЧАС н → ЧАС н + 1 и по линейности определим с † : Ф → Ф к :

с † ( | Ψ 0 ⟩ ⊕ | Ψ 1 ⟩ ⊕ … ⊕ | Ψ н ⟩ ⊕ … ) "=" 0 ⊕ ( с 0 † | Ψ 0 ⟩ ) ⊕ ( с 1 † | Ψ 1 ⟩ ) ⊕ … ⊕ ( с н † | Ψ н ⟩ ) ⊕ …

Изменить: учитывая оператора О : Ф → Ф , мы можем определить его ограничения О м : ЧАС м → Ф к :

О м | Ψ м ⟩ "=" О ( 0 ⊕ 0 ⊕ … ⊕ | Ψ м ⟩ ⊕ 0 ⊕ … ) е Ф

В общем, О м | Ψ м ⟩ не будет лежать ни в ком ЧАС н (т.е. он не будет иметь форму 0 ⊕ … ⊕ | Ψ н ⟩ ⊕ … , как это было для О "=" с † ). Однако мы можем определить операторы О       м н : ЧАС м → ЧАС н к :

О м | Ψ м ⟩ "=" ( О       м 0 | Ψ м ⟩ ) ⊕ ( О       м 1 | Ψ м ⟩ ) ⊕ … ⊕ ( О       м н | Ψ м ⟩ ) ⊕ …

По линейности имеем:

(1) О ( | Ψ 0 ⟩ ⊕ | Ψ 1 ⟩ ⊕ … ⊕ | Ψ н ⟩ ⊕ … ) "=" ( ∑ м О       м 0 | Ψ м ⟩ ) ⊕ … ⊕ ( ∑ м О       м н | Ψ м ⟩ ) ⊕ …

Обратно, для семейства операторов О       м н : ЧАС м → ЧАС н , уравнение ( 1 ) определяет оператор О : Ф → Ф .

Верно ли то же самое для любого другого оператора, например гамильтониана?
На какие состояния действуют операторы рождения и уничтожения?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v