Простое объяснение уравнения Шредингера и модели атома? [закрыто]

Попробуйте это объяснение для размера: это то, как я люблю думать об уравнении Шредингера, и оно довольно близко к тому, как Ричард Фейнман вводит его в своем обсуждении гамильтониана в «Фейнмановских лекциях по физике» в главе 8 «Гамильтонова матрица». третий том. Это будет хорошей ссылкой для вас, если вы перегружены страницей Википедии.

Фон

Предположим, мы допускаем, что «состояние» системы закодировано как вектор в некотором гильбертовом пространстве (т.е., по существу, в векторном пространстве, в котором определены скалярные произведения и нормы): давайте, например, рассмотрим квантовый гармонический осциллятор, поэтому мы будем кодировать состояние как дискретная последовательность комплексных чисел$\Psi = \{\psi_0, \psi_1, \cdots\}$, такой, что$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$.$\psi_0$- амплитуда вероятности того, что система будет обнаружена в основном квантовом состоянии, то есть настолько близком, насколько можно добраться до «обесточенного» без нарушения неравенства Гейзенберга,$\psi_1$амплитуда вероятности того, что осциллятор находится в однофотонном состоянии, т.е. его энергия равна$\hbar \omega$,$\psi_2$амплитуда, что это двухфотонное состояние, и вообще$\psi_N$отношение, которое находится в$N$-фотонное состояние; или, если хотите, амплитуду, которую он имел$N$-фотоны добавляются к его основному состоянию откуда-то из-за пределов системы осциллятора. В более общем плане$\psi_j$— амплитуды вероятности того, что система будет обнаружена как находящаяся в$j^{th}$базисное состояние: один из базисных векторов гильбертова пространства состояний, и они не обязательно должны быть равноотстоящими состояниями гармонического осциллятора — это может быть вообще другая система. Очевидно, что система всегда должна находиться в каком-то состоянии, поэтому отношение$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$всегда держит.

Основные идеи

Уравнение Шредингера очень общее: оно просто говорит, что состав и работа квантовой системы в некотором смысле «постоянны», когда система отделена от остального мира. Это расплывчатое утверждение имеет больше смысла в символах: математическое описание должно быть инвариантным по отношению к временным сдвигам: если я начну с квантового состояния в 12 часов и буду развивать его до 1 часа, то эволюция моего состояния будет быть таким же, как если бы я начал с того же состояния в 4 часа и ждал до пяти. Теперь мы предполагаем линейность, так что наш вектор состояния (теперь записанный как вектор-столбец) будет развиваться в соответствии с некоторым матричным уравнением:$\psi(t) = U(t) \psi(0)$, где матрица переходов состояний$U(t)$должен:

1. Выполнить$U(t+s) = U(t) U(s) = U(s) U(t)$за любые промежутки времени$t$и$s$. Это просто наше обсуждение инвариантности к сдвигу во времени выше. Сразу знаем$U(t) = \exp(A t)$, для некоторой постоянной матрицы$A$поскольку экспонента - единственная непрерывная функция с этим свойством инвариантности к сдвигу во времени;
2. Он должен быть унитарным: это значит, что он должен сохранять нормы, так что$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$выполняется всегда: это просто говорит о том, что система должна находиться в каком-то состоянии из-за вероятностной интерпретации квадратов величин. Какое у нас есть для этого оправдание? Что ж, если бы состояние блуждало вне нашего гильбертова пространства состояний, то это гильбертово пространство не было бы хорошим описанием всех возможных состояний системы. Поэтому мы просто добавляли базисные векторы в наше гильбертово пространство и расширяли его до тех пор, пока оно не стало хорошим описанием всех возможных состояний системы.

Таким образом, наиболее общая возможная эволюция состояния$\psi(t) = \exp(-\hbar^{-1} i\, \hat{H}\, t)\,\psi(0)$, где$\hat{H}$является постоянной эрмитовой матрицей (это эквивалентно утверждению об унитарности). Это, в свою очередь, эквивалентно:

что является уравнением Шрёдингера. Будем надеяться, что основная природа уравнения Шрёдингера теперь ясна:

Уравнение Шредингера для квантовой системы утверждает (i) инвариантность системы к сдвигу во времени и (ii) что система всегда должна находиться в некотором состоянии в гильбертовом пространстве состояний, когда эта система отделена от остального мира.

Ради этого аргумента просто подумайте о$i$и$\hbar$в качестве постоянных я произвольно вытащил из правой части. Они создают наблюдаемые — операторы, определяющие результаты измерения при заданном состоянии системы.$\psi$- легче интерпретировать. Мы тянем константу$i$так что наше условие единства состоит в том, что наша$\hat{H}$матрица является эрмитовой, а не косоэрмитовой (т. е. ее собственные значения и, следовательно, возможные результаты измерения являются реальными, а не мнимыми), а$\hbar$имеет две функции:

1. $\hat{H}$является базовой постоянной во времени наблюдаемой; сохраняющиеся величины, т. е. те, которые не меняются со временем, — это те, чьи наблюдаемые коммутируют с$\hat{H}$. Вы можете вывести это утверждение, немного потрудившись, из уравнения Шредингера (то есть путем преобразования в рисунок Гейзенберга ). Таким образом, вы можете постулировать, что$\hat{H}$наблюдаемая энергия. Поэтому нам нужна константа масштабирования с балансировкой единиц, чтобы сделать экспоненту безразмерной в in in$\psi(t) = \exp(-\hbar^{-1} i\, \hat{H}\, t)\,\psi(0)$;
2. Это дает выражение принципа неопределенности Гейзенберга в его наиболее четкой форме. Но это совсем другая история, если не считать уравнения Шредингера: см. мой ответ здесь .

Часто выбирают преобразование координат пространства состояний и ослабление условия инвариантности к сдвигу во времени. В этом случае мы получаем изменяющееся во времени уравнение Шрёдингера, как я здесь описываю .

И последнее, что может показаться вам загадочным, это то, что страница Wiki имеет дело с непрерывными волновыми функциями, а не с дискретными векторами состояния. Это просто замена координат: если хотите, подумайте о дискретных компонентах Фурье, представляющих эквивалентную непрерывную функцию в качестве примера. Приведенные выше рассуждения об уравнении Шрёдингера в принципе одинаково хорошо работают, независимо от того,$\psi$может быть дискретным вектором-столбцом$\{\psi_j(t)\}_{j=0}^\infty$или непрерывная функция$\psi(\mathbf{r},\,t)$некоторого вектора переменных$\mathbf{r}$, например должность. При соответствующих условиях непрерывные функции также можно рассматривать как живущие в счетно бесконечномерном гильбертовом пространстве. Это просто зависит от наиболее удобного описания рассматриваемой проблемы.