Существует ли только радиальное движение в основном состоянии Водорода?

Плотность вероятности основного состояния не зависит от времени, поэтому движения в этом смысле нет. Тем не менее, ожидаемое значение кинетической энергии не равно нулю, поэтому в этом смысле движение есть. Как примиряются эти представления о движении?

Во-первых, классически, если бы у нас была частица в$1/r$потенциал и освободил его от покоя, он действительно будет качаться взад и вперед, как маятник, как вы описываете. Но в квантовой механике мы не можем сказать, что электрон движется по какому-то определенному пути вокруг протона. Поскольку конкретного пути не существует, мы не можем полностью согласовать эти представления о движении с какими-либо классическими предубеждениями.

Давайте обсудим некоторые различные понятия движения в квантовой механике, которые могут вам здесь помочь.

Основное состояние атома водорода

$$\psi(r,\theta,\phi,t) = A\, \exp\left(-\frac{r}{a}-i\frac{E t}{\hbar}\right)$$ Где $A =\sqrt{\frac{1}{\pi a^3}},a=\frac{\hbar^2}{me^2},E=\frac{-m e^4}{8 h^2 \varepsilon_0^2}$

Оператор радиального импульса в этом базисе:

$$\vec{p}_r = -i\hbar\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}$$ где $\hat{r}$— радиальный единичный вектор (не оператор).

При расчете ожидаемой стоимости этого:

$$\langle \psi|\vec{p}_r|\psi\rangle = \int \psi^* (- i\hbar\hat{r}\frac{\partial}{\partial r} \psi) \sin(\theta) r^2 dr\,d\theta\,d\phi = \int \psi^* (- i\hbar\hat{r}\frac{-1}{a} \psi) \sin(\theta) r^2 dr\,d\theta\,d\phi$$

Из-за симметрии это, конечно, будет равно нулю. Но член плотности в интеграле равен

$$\psi^*(- i\hbar\hat{r}\frac{-1}{a} \psi) = i\hbar\frac{1}{a}(\psi^*\psi)\hat{r}$$

Это может быть то, что вы хотите интерпретировать как «движение», но поскольку$(\psi^*\psi)\ge 0$это чисто воображаемое и не имеет прямой физической интерпретации как движение. Как воображаемый, он не направлен ни к центру, ни от него.

Другое понятие движения — это ток вероятности:

$$\vec{j} = \frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^* \vec\nabla \psi - \psi \vec\nabla \psi^{*} \right)$$

Это связано с сохранением вероятности:

$$\rho = \left|\psi\right|^2,\quad \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec\nabla \cdot \vec{j} = 0$$

Для основного состояния водорода имеем:

$$\vec{j} = \frac{\hbar}{2mi}\hat{r}\left(\psi^* \left(\frac{\partial}{\partial r}\psi\right) - \psi \left(\frac{\partial}{\partial r}\psi^{*}\right) \right)$$ $$= \frac{\hbar}{2mi}\hat{r}\left(\psi^* \left(\frac{-1}{a}\psi\right) - \psi \left(\frac{-1}{a}\psi^{*}\right) \right) = 0$$

В любой точке нет тока вероятности. Таким образом, в любом смысле, в котором есть движение в каком-то месте, чистый ток в/из этой точки по-прежнему равен нулю. Что приводит меня к единственному оставшемуся известному мне способу обсуждения «движения» здесь. Мы пишем состояние в позиционном базисе, позвольте мне сделать это более понятным, а также немного использовать декартов базис:

$$|\psi\rangle = \int \phi(x,y,z,t)|x,y,z\rangle$$ Штат $|\phi\rangle$— всего лишь один вектор в бесконечном векторном пространстве, которое здесь является гильбертовым пространством для электрона. Когда мы пишем $\phi(x,y,z,t)$это действительно зависящие от времени компоненты для каждого базового элемента $|x,y,x\rangle$в выбранном базисе для этого векторного пространства. Штат $|1,0,0\rangle$сама по себе является наиболее близкой интерпретацией вашей идеи начать с электрона, скажем, x = 1, y = 0, z = 0 и отбросить его, чтобы посмотреть, как он движется.

Мы можем начать с этого состояния чистого положения и наблюдать, как оно развивается в соответствии с оператором Гамильтона. Поскольку это состояние не является собственным энергетическим состоянием, оно будет распространяться (эволюционировать в состояние, которое теперь нужно записать как суперпозицию многих наших$|x,y,x\rangle$базисные состояния). Однако он не будет качаться, как маятник, хотя происхождение, как вы себе представляете. Оно будет распространяться во всех направлениях (поскольку по принципу неопределенности чистое позиционное состояние полностью расплывается в импульсном пространстве).

Магия основного состояния заключается в том, что если мы рассмотрим эту особую взвешенную суперпозицию огромного (бесконечного) числа позиционных состояний, распространяющихся по отдельности, они распространяются точно так, что суперпозиция состояний остается неизменной, а чистый ток равен нулю в каждый момент времени. точка. Вы можете рассматривать это немного как равновесие с принципом детального баланса: состояния позиции будут развиваться друг в друга, но количество, которое «выходит» из состояния чистой позиции, должно быть заменено точно таким же количеством, «входящим» в это состояние из другие состояния позиции в этой суперпозиции.

Таким образом, в некотором смысле существует движение (кинетическая энергия отлична от нуля, оператор временной эволюции (гамильтониан) постоянно развивает состояния чистого положения в каждой точке, чтобы распространиться), но «чистое движение» волновой функции равно нулю (вероятность ток равен нулю), а плотность вероятности не зависит от времени.

---

Считайте этот раздел расширенным комментарием:

Акрасиа предложил здесь другой способ взглянуть на движение: разложение импульса.

По сути, мы также можем записать состояние в терминах импульса в гильбертовом пространстве.

$$|\psi\rangle = \int \phi(k_x,k_y,k_z,t)|k_x,k_y,k_z\rangle$$

Эти базисные состояния разбросаны по всему пространству (равномерно). Поэтому они не могут сказать нам о движении в какой-то области. Но мы можем получить плотность вероятности в этом пространстве, давая представление о движении частей состояния. А для основного состояния водорода оно будет построено в виде стоячих волн противоположных основных состояний импульса. Поскольку они охватывают все пространство, импульс состояния плоской волны направлен не только в радиальном направлении. Так что в этом смысле «движение» происходит не только в радиальном направлении.

Вот связанный с этим вопрос обмена стеками:
Волновая функция водорода в импульсном пространстве
А вот статья , в которой утверждается, что разработана волновая функция водорода в сферическом импульсном пространстве.

Они считают, что основное состояние:

$$\phi_{1,0,0} = \frac{1}{(p_r - i p_0)^2} \frac{1}{p_\theta^{1/2}}J_{1/2}(p_\theta)\delta(p_\phi)$$ Это означает, что нет вклада от базовых элементов с ненулевыми $p_\phi$импульс, но есть для ненулевого $p_\theta$. Меня это удивляет, и у меня сейчас нет времени читать газету. Так что было бы лучше, если бы кто-то другой написал ответ, охватывающий эту часть. Если эта статья работает, то это кажется очень хорошим понятием движения, для которого можно ответить на вопрос здесь: «Существует ли только радиальное движение в основном состоянии Водорода?».

Несколько дней назад я вдруг понял, что ответ на вопрос, который я разместил здесь почти 3 года назад, на самом деле довольно прост. «Является ли кинетическая энергия электрона в основном состоянии Водорода результатом только радиального движения или есть также вклад нерадиального движения?»

Чтобы найти полную кинетическую энергию, нужно начать с длины квадрата вектора импульса, pp. Это превращается в дифференциальный оператор - h-bar^2 grad.grad. Когда этот оператор действует на радиальную волновую функцию (как в случае основного состояния), мы получаем хорошо известный результат, например, из оператора Лапласа в сферических координатах: h-bar^2 {d^2/ др ^ 2 + (2 / г) д / др}.

Теперь мы рассматриваем кинетическую энергию, связанную только с радиальным движением. Чтобы исключить нерадиальные члены, мы возьмем проекцию вектора импульса на единичный вектор из начала координат в точку (x, y, z). Этот радиальный единичный вектор задается как u = (x/r, y/r, z/r). Квадрат радиального импульса теперь равен (вверх)^2. Преобразуем это в дифференциальный оператор - h-bar^2 (u.grad)(u.grad). Если этот оператор действует на радиальную волновую функцию, результат сводится к: - h-bar^2 d^2/dr^2.

Сравнивая эти результаты, мы видим, что действительно есть угловые (нерадиальные) вклады в кинетическую энергию. Они определяются как: - h-bar^2 (2/r)d/dr.

Несложно оценить ожидаемые значения этих трех операторов в основном состоянии водорода. Полная кинетическая энергия равна +1 (в единицах энергии Ридберга), радиальная кинетическая энергия равна -1, а угловая кинетическая энергия равна +2.

В среднем движения вообще нет, т. е. нет систематических перемещений. Но бывают "флуктуации" с ненулевыми усредненными квадратами. Классически говоря, это похоже на броуновское движение в ограниченном пространстве. Но отложим классическую картину. Помимо импульсного представления волновой функции, существует простое доказательство того, что электрон может иметь неограниченную скорость в основном состоянии.

Рассмотрим процесс рассеяния в первом борновском приближении. Снаряд тяжелый (протон, например). Из кинематических соображений неподвижный электрон не может рассеять тяжелый протон на большие углы, существует предельный угол, определяемый соотношением$m_e/m_p$. Однако сечение рассеяния не равно нулю для больших углов. Несмотря на маленькое сечение, оно никогда не равно нулю. Это связано с тем, что электрон может иметь большую мгновенную скорость в момент рассеяния, и это может оттолкнуть тяжелый снаряд назад. Последний эффект описывается атомарным форм-фактором$|F(\mathbf{q})|>0$при любом угле рассеяния.

У вас есть два вопроса, которые не совсем одинаковы. Один

Есть ли только радиальное движение в основном состоянии водорода?

а другой

Если да, то это был бы довольно странный результат. Допустим, электрон находится в положении$(x, 0, 0)$. Тогда кинетическая энергия была бы результатом движения либо от ядра (направление$+x$) или к ядру ($-x$), а не от движения перпендикулярно$x$-ось.

Важно понять, почему это разные сценарии: электрон «в» позиции$(x,0,0)$не может находиться в основном состоянии. Электрон в основном состоянии водорода имеет распределение позиций

$$\psi_\text{ground}(r) = A e^{-r/a}$$ где CuriousKev прав, что нормализация $A = 1/\sqrt{\pi a^3}$и шкала длины $a = \hbar^2/me^2$зависит только от электрона $^1$масса $m$, удельный заряд $e$, а единица углового момента $\hbar$. Однако электрон в положении $(x,0,0)$имеет распределение позиций $$\psi_\text{localized}(r) = \delta^{(3)}(\vec r - (x,0,0)).$$ Поскольку электронные орбитали водорода образуют полный ортонормированный набор функций, вы можете использовать методы анализа Фурье, чтобы записать $\psi_\text{localized}$как суперпозиция всех обычных $\psi_{n\ell m}$; суперпозиция будет иметь вклады от состояний со всеми $n$и $\ell$, но только с проекциями $m=0$. (Все волновые функции углового момента с проекцией $m\neq0$исчезнуть в $x$- $y$самолет.)

Этот$\psi_\text{localized}$не является стационарным состоянием. Положение электрона будет изменяться по мере того, как различные стационарные компоненты$\psi_n$развиваться с их различной частотой$E_n/\hbar$. Не выполняя моделирования, я ожидал бы, что «наиболее вероятное» положение электрона будет первоначально двигаться к ядру, но плотность вероятности будет распространяться как по$x$-оси и в$y$-$z$самолет. Таким образом, ваш сценарий имеет радиальную кинетическую энергию из-за движения по$x$-ось, а поперечная кинетическая энергия - за счет растекания пакета в$y$-$z$-самолет.

---

$^1$Ну, на самом деле это уменьшенная масса$m = m_e / (1 + m_e/m_p)$, но разница небольшая.