Обеспечение условия калибра Лоренца в решении функции Грина

Question

Обеспечение условия калибра Лоренца в решении функции Грина

измерять
Физика
потенциал
калибровочная теория
уравнения Максвелла
классическая электродинамика

CDCM

В манометре Лоренца мы можем записать уравнения Максвелла в виде:

\begin{matrix} (1) & ◻ А^{β} "=" {мю}_{0} {Дж}^{β} . \end{matrix}

$\tag1 \Box A^\beta=\mu_0j^\beta.$

Затем мы продолжаем решать эту проблему, рассматривая каждый компонент $A^\beta$ как независимое решение скалярного волнового уравнения с источником и суммированием функций Грина. То есть:

\begin{matrix} (2) & А^{β} "=" {мю}_{0} \int \frac{1}{4 π | р - р^{'} |} {Дж}^{β} (с т - | р - р^{'} |, р^{'}) д^{3} р^{'} . \end{matrix}

$\tag2 A^\beta=\mu_0\int \frac{1}{4\pi |r-r'|}j^\beta(ct-|r-r'|, r')\ \mathrm d^{3}r'.$

Мой вопрос: как мы добились того, что условие калибровки Лоренца по-прежнему выполняется?

Обязательно напишите $(1)$ , нам нужно $\partial_\mu A^\mu = 0$ , но как мы обеспечили наше решение $(2)$ соответствует этому условию?

СлучайныйПреобразование Фурье

Подсказка: что такое

\partial_{μ} j^{μ}

$\partial_\mu j^\mu$ ? [также будет проще, если вы напишете

(2)

$(2)$ с точки зрения

d t^{'} d^{3} r^{'}

$\mathrm dt'\mathrm d^3r'$ ]

СлучайныйПреобразование Фурье

Я думал, что вы все еще боретесь, поэтому решил опубликовать более подробную подсказку. Я рад, что вы смогли решить эту проблему самостоятельно :-)

Ответы (1)

Обеспечение условия калибра Лоренца в решении функции Грина

Подсказка: что такое $\partial_\mu j^\mu$ ? [также будет проще, если вы напишете $(2)$ с точки зрения $\mathrm dt'\mathrm d^3r'$ ]
Я думал, что вы все еще боретесь, поэтому решил опубликовать более подробную подсказку. Я рад, что вы смогли решить эту проблему самостоятельно :-)

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Набросок аргумента:

Запишите уравнение в виде
$А^{мю} (Икс) "=" \int_{р^{4}} г (Икс - {Икс}^{'}) {Дж}^{мю} ({Икс}^{'}) д {Икс}^{'}$ $A^\mu(x)=\int_{\mathbb R^4} G(x-x')j^\mu(x')\ \mathrm dx'$ где $G$ является одним из пропагаторов волнового уравнения. Например, $G_\mathrm{ret}(x)\propto\delta(x^2)\Theta(x^0)$ который после интегрирования по $\mathrm dx^0$ , приводит к вашей второй формуле.
Покажи то
$\partial_{мю} А^{мю} (Икс) "=" \int_{р^{4}} г (Икс - {Икс}^{'}) \partial_{мю}^{'} {Дж}^{мю} ({Икс}^{'}) д {Икс}^{'}$ $\partial_\mu A^\mu(x)=\int_{\mathbb R^4} G(x-x')\partial'_\mu j^\mu(x')\,\mathrm dx'$ где мы использовали тот факт, что $G$ зависит только от разницы $x-x'$ , а мы интегрировали по частям. Здесь следует утверждать, что граничные члены исчезают из-за кинематики $G$ .
Докажите с помощью сохранения тока , что калибровочное условие Лоренца выполняется. Следует отметить, что независимо от выбранной калибровки
$\partial_{мю} Ф^{мю ν} "=" {Дж}^{ν}$ $\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$ и, следовательно, из-за косой симметрии $F$ , ток должен сохраняться в качестве условия согласованности для того, чтобы приведенное выше УЧП было корректным.

Обеспечение условия калибра Лоренца в решении функции Грина

CDCM

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

Ответы (1)

СлучайныйПреобразование Фурье

Почему мы используем датчики в уравнении Максвелла?

Физический смысл выбора калибровки в электромагнетизме

Лапласиан калибровочного магнитного потенциала Лоренца

Выбор соленоидального векторного потенциала при фиксации манометра

Что такое калибровка в калибровочной теории?

Как вывести уравнения Максвелла из электромагнитного лагранжиана?

Останавливающий ток и соответствие уравнению Максвелла

Квазиклассическая модель атома

Кулоновская калибровка в специальной теории относительности (для КТП)

Однородные уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм