Решение для обратного квадратного потенциала в пространственных измерениях d = 3d = 3d = 3 в квантовой механике [дубликат]

Можно показать, что обратный квадратичный потенциал

$$V(r)~=~\frac{\hbar^2}{2m}\frac{c}{r^2}~\propto~\frac{1}{r^2}, \tag{1}$$

в$d$математически говоря, пространственные измерения имеют три альтернативы, в зависимости от безразмерной константы пропорциональности

$$c_d~\equiv~\frac{(d-1)(d-3)}{4}+c~\equiv~\varkappa^2-\frac{1}{4}~\in~\mathbb{R}.\tag{2}$$

1. Случай$c_d < -\frac{1}{4}$: Спектр неограничен снизу, т.е. система неустойчива.

2. Случай$c_d\geq \frac{3}{4}$: Связанных состояний нет вообще.

3. Случай$-\frac{1}{4} \leq c_d < \frac{3}{4}$: можно определить асимптотические граничные условия (ABC) при$r=0$/ самосопряженные расширения гамильтониана такие, что спектр ограничен снизу. Некоторые из этих расширений имеют связанные состояния, другие — нет.

С точки зрения физики может показаться неестественным, что выводы зависят от регулируемых АВС, наложенных на$r=0$. Обычное знание физики состоит в том, что потенциал обратных квадратов является лишь эффективным описанием, и что, по-видимому, должна появиться новая физика, чтобы разрешить сингулярность в$r=0$. Отныне в этом ответе мы обсуждаем только чисто математическую проблему, даже если она несколько академическая.

Во-первых, угловые возбуждения толкают энергию только вверх, а не вниз, поэтому достаточно анализировать сферически-симметричные$s$-волны

$$\psi(r) ~\equiv~r^{\frac{1-d}{2}}u(r) , \qquad u(r)~\equiv~\sqrt{r}~ v(r) ,\tag{3}$$ и, следовательно, функционал энергии упрощается до

$$\begin{align}\frac{2m}{\hbar^2} \frac{\langle \psi | \hat{H} \psi \rangle}{{\rm Vol}(S^{d-1})} &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \!r^{d-1}~ dr~ \psi(r)^{\ast} \left(- \frac{\partial^2}{\partial r^2}-\frac{d-1}{r}\frac{\partial}{\partial r} +\frac{c}{r^2}\right) \psi(r) \cr &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr~ u(r)^{\ast} \left(- \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{c_d}{r^2}\right) u(r)\cr &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr~ v(r)^{\ast} \left(- \frac{\partial}{\partial r}r\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\varkappa^2}{r}\right) v(r). \tag{4}\end{align}$$

1) Эскиз доказательства дела$c_d< -\frac{1}{4}$: Давайте изучим пробную/тестовую функцию

$$u(r)~=~ r^{p}e^{-r/2}, \qquad \frac{1}{2}~<p~<~\sqrt{-c_d}, \tag{5}$$

в пределе

$$p ~\searrow~ \frac{1}{2}. \tag{6}$$

Квадратная норма

$$\frac{||\psi||^2}{{\rm Vol}(S^{d-1})}~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr~ |u(r)|^2~=~ (2p)! ~\searrow~ 1 \quad\text{for}\quad p ~\searrow~ \frac{1}{2} \tag{7}$$

конечно. Функционал энергии (4) упрощается до (после интегрирования по частям)

$$\begin{align}\frac{2m}{\hbar^2} \frac{\langle \psi | \hat{H}| \psi \rangle}{{\rm Vol}(S^{d-1})} &~\stackrel{(4)}{=}~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr \left( |u^{\prime}(r)|^2 +\frac{c_d}{r^2} |u(r)|^2\right) \cr &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr \left( \left(p-\frac{r}{2}\right)^2+c_d \right)r^{2p-2}e^{-r}\cr &~=~ \underbrace{(p^2+c_d)}_{<0}\underbrace{\int_{\mathbb{R}_+} \! dr ~r^{2p-2}e^{-r}}_{=(2p-2)!}+\text{finite terms}\cr &~\to~ -\infty\quad\text{for}\quad p ~\searrow~ \frac{1}{2},\tag{8} \end{align}$$

и неограничен снизу.$\Box$

В свете предыдущего раздела предположим, что$\varkappa^2~\equiv~c_d+\frac{1}{4}\geq 0$впредь. Радиальная ТИСЭ

$$\frac{\hbar^2}{2m}\left(-\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}r\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\varkappa^2}{r^2}\right) v(r) ~=~ -|E|v(r), \qquad v(r\!=\!\infty)~=~0, \tag{9}$$

для связанных состояний становится модифицированным уравнением Бесселя . Решение

$$\begin{align}v(r)~~\propto~&~ K_{\varkappa}(\rho) ~~\propto~~ -\frac{\sin (\varkappa\pi)}{\pi/2}K_{\varkappa}(\rho) ~=~I_{\varkappa}(\rho)-I_{-\varkappa}(\rho) \cr ~~\stackrel{\rho\ll 1}{\sim}&~~ \frac{(\rho/2)^{\varkappa}}{\Gamma(1+\varkappa)} -\frac{(2/\rho)^{\varkappa}}{\Gamma(1-\varkappa)} , \end{align} \tag{10}$$ $$\rho ~\equiv~\frac{\sqrt{2m|E|}}{\hbar}r, \tag{11}$$

— модифицированная функция Бесселя второго рода. Задача (9) имеет масштабную симметрию, так что энергетический спектр становится неограниченным снизу, если только мы не наложим соответствующую АВС на$r=0$.

2) Эскиз доказательства дела$c_d\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \varkappa\geq 1$:$\psi$-волновая функция (10) не интегрируема с квадратом при$r=0$. Другими словами, соответствующий ABC в$r=0$запрещает$\psi$-волновая функция (10).$\Box$

3) Эскиз доказательства дела$-\frac{1}{4} \leq c_d < \frac{3}{4}\Leftrightarrow 0\leq \varkappa<1$: Теперь наложим ABC (12) на$r=0$:

$$v(r)~~\propto~~(k_0r)^{\varkappa} + \lambda (k_0r)^{-\varkappa} + O(r), \qquad k_0r ~\ll~1, \qquad \lambda~\in~\mathbb{R}, \tag{12}$$

где

$$k_0~\equiv~\frac{mc}{\hbar}\tag{13}$$

представляет собой комптоновское волновое число, т. е. обратную приведенную комптоновскую длину волны . Здесь$\lambda\in\mathbb{R}$– фиксированный безразмерный параметр. Сравнение ур. (10) и (11), в случае$0< \varkappa<1$, это приводит к единственному связанному состоянию

$$E~=~- 2mc^2 \left|\lambda\frac{\Gamma(1-\varkappa)}{\Gamma(1+\varkappa)} \right|^{-1/\varkappa} \quad \text{for}\quad \lambda~<~0,\tag{14}$$

и нет связанных состояний, если$\lambda\geq 0$. Дело$\varkappa=0$имеет аналогичные выводы. См. ссылку. 3 для деталей.$\Box$

Использованная литература:

1. А.М. Эссин и Д.Дж. Гриффитс, Квантовая механика$1/x^2$потенциал, Ам. Дж. Физ. 74 (2006) 109 .

2. Л. Д. Ландау и Э. М. Лифшиц, QM, Vol. 3, 3-е изд., 1981;$\S$35.

3. Д.М. Гитман, И.В. Тютин и Б.Л. Воронов, arXiv:0903.5277 . (Подсказка: JamalS .)

Это потенциал Калоджеро . Это кажется по крайней мере физически разумным. Обратите внимание на неравенство

$$\int_{\mathbb R^3} \frac{1}{4r^2}|\psi(x)|^2 \mathrm d^3x \leq \int_{\mathbb R^3}|\nabla\psi(x)|^2 \mathrm d^3x$$

которое выполняется для любого$\psi \in C^\infty_0(\mathbb R^3)$. С потенциалом$V=cr^{-2}$гамильтониан что-то вроде$H = -\nabla^2 + cr^{-2}$а у нас так,

$$\langle H \rangle = \int_{\mathbb R^3} \bar \psi(x)\left(-\nabla^2 + cr^{-2}\right)\psi(x)\, \mathrm d^3x = \int_{\mathbb R^3} |\nabla \psi(x)|^2 + cr^{-2}|\psi(x)|^2 \mathrm d^3x.$$

При правильно выбранном потенциале, а именно при$-c \leq \frac14$, у нас есть это$\langle H \rangle \geq 0$, или, говоря словами, мы гарантированно имеем ограниченный снизу гамильтониан, что физически разумно. Это также позволяет нам иметь некоторый выбор самосопряженного расширения через расширение Фридрихса.

---

Спектр

Для$c \geq \frac34$, существует только один самосопряженный гамильтониан, спектр которого равен$\mathbb R_+$. Нормализованные обобщенные собственные функции:

$$u_{1,E}(x) = \sqrt{\frac{x}{2}} J_\varkappa(\sqrt{E}x)$$

для$E \geq 0$и конкретная функция Бесселя,$J_\varkappa$.

---

Для$-\frac14 < c < \frac34$, есть однопараметрический$U(1)$-семейство самосопряженных гамильтонианов. Нормализованные собственные функции:

$$u_{2,\lambda,E}(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}\frac{J_\varkappa(\sqrt E x) + \gamma\sqrt{x} J_{-\varkappa}(\sqrt E x)}{\sqrt{1+2\gamma \cos\pi\varkappa} + \gamma^2}$$

где$\gamma = \lambda \frac{\Gamma(1-\varkappa)}{\Gamma(1+\varkappa)}(E/4k^2_0)^\varkappa$. Для$\lambda \geq 0$у нас такой же спектр, но для отрицательных$\lambda$, надо,

$$\mathrm{spec} \, H_{2,\lambda} = \left\{-4k^2_0 \bigg\rvert \lambda \frac{\Gamma(1-\varkappa)}{\Gamma(1+\varkappa)}\bigg\rvert^{-1/\varkappa} \right\} \cup [0,\infty)$$

который имеет связанное состояние. Вы можете найти больше в Самосопряженных расширениях и спектральном анализе в проблеме Калоджеро, которая является наиболее автономным и полным решением, которое я мог найти; рассмотрены остальные случаи, а также дополнительные аспекты проблемы.