Когда nnn-е связанное состояние одномерного квантового потенциала имеет nnn максимумов/минимумов?

Question

Когда nnn-е связанное состояние одномерного квантового потенциала имеет nnn максимумов/минимумов?

Майкл Зайферт

В вводном учебнике физики Мура « Шесть идей, которые сформировали физику » он описывает набор качественных правил, которые студенты-первокурсники-физики могут использовать для наброска собственных функций энергии в одномерном квантово-механическом потенциале. Многие из них в основном представляют собой замаскированный формализм ВКБ; например, он вводит понятие «локальной длины волны» и оправдывает изменение амплитуды тем, что классическая частица проводит там больше времени. Он также отмечает, что волновая функция должна быть «волновой» в классически разрешенной области и «экспоненциальной» в классически запрещенной области.

Однако есть одно правило, которое он использует и которое, по-видимому, работает для многих (но не для всех) квантовых потенциалов:

The $n$ возбужденное состояние $\psi_n(x)$ частицы в одномерном потенциале имеет $n$ экстремумы.

Это верно для частицы в ящике (бесконечного или конечного), простого гармонического осциллятора, потенциала прыгающего нейтрона и, предположительно, большого числа других одномерных квантовых потенциалов. Однако это неверно для частицы в двойной яме конечной глубины; основное состояние, имеющее симметричную волновую функцию, имеет два максимума (по одному в каждой потенциальной яме) и один минимум (в средней точке между ямами).

Тогда возникают следующие вопросы:

Есть ли условия, которые мы можем поставить на $V(x)$ которые гарантируют, что приведенное выше утверждение верно? Например, верно ли утверждение, если $V(x)$ имеет только один минимум? Верно ли утверждение, если классически разрешенная область для любой энергии является связной частью $\mathbb{R}$ ? (Второе утверждение немного слабее первого.)
Можем ли мы обобщить это утверждение так, чтобы оно было верным для любого потенциального $V(x)$ ? Возможно, есть условие на количество максимумов и минимумов $V(x)$ и $\psi_n(x)$ комбинированный?

Я подозреваю, что если можно сделать утверждение в этом направлении, то оно будет исходить из ортогональности волновых функций по отношению к некоторому скалярному произведению, определяемому свойствами потенциала $V(x)$ . Но я недостаточно хорошо разбираюсь в теории операторов, чтобы придумать простой аргумент по этому поводу. Меня также интересуют любые интересные контрпримеры к этому утверждению, которые могут привести люди.

СлучайныйПреобразование Фурье

Хороший вопрос. Бьюсь об заклад, это правильно охарактеризовано математиками (скажем, в теории Штурма-Лиувилля; я почему-то сейчас думаю о Чебышеве). Возможно, math.SE может что-то сказать. Кстати, я нашел это в Интернете: «Собственные функции,

y_{j}

$y_j$ , имеют узлы между

a

$a$ и

b

$b$ , число таких узлов увеличивается с ростом

j

$j$ . Собственная функция

y_{0} (x)

$y_0(x)$ не имеет узлов,

y_{1} (x)

$y_1(x)$ имеет один узел и т. д.» См. также ( ctrl+F«узел»),

ООО

Эта теорема о нулях n -го собственного состояния -

ψ_{n} (x)

$\psi_n(x)$ имеет n нулей. Вероятно, вы действительно можете сказать что-то о сочетании экстремумов обоих

V (x)

$V(x)$ и

ψ_{n} (x)

$\psi_n(x)$ но я не думаю, что есть доказанная теорема

QuantumBrick

В бесконечной потенциальной яме ваш оператор компактен, а значит, его спектр будет счетным. Затем энергия увеличивается с

n^{2}

$n^2$ (что означает, что оно монотонно возрастает), а поскольку решения являются колебательными и подчинены граничным условиям, которые сокращают волновую функцию на стенках, единственный вариант для него — развивать новый экстремум для каждого значения возрастания

n

$n$ . Если ваш оператор уже не является компактным, то о спектре вы ничего не можете сказать, кроме того, что он несчетен , а значит, не следует такому правилу. Хорошим примером является конечная потенциальная яма.

СлучайныйПреобразование Фурье

Нули и узлы @OON - это, по сути, одно и то же, потому что волновая функция непрерывна и дифференцируема (теорема Ролля: « любая дифференцируемая функция с действительным знаком, которая достигает равных значений в двух разных точках, должна иметь стационарную точку где-то между ними ")

ООО

Нули и узлы @AccidentalFourierTransform — это одно и то же. Нулей и экстремумов нет. И нулевая мода не должна иметь нулей, но может иметь три экстремума, если она имеет небольшую яму на вершине большой колоколообразной кривой (для потенциала, который имеет две ямы рядом друг с другом).

Ответы (1)

Когда nnn-е связанное состояние одномерного квантового потенциала имеет nnn максимумов/минимумов?

Хороший вопрос. Бьюсь об заклад, это правильно охарактеризовано математиками (скажем, в теории Штурма-Лиувилля; я почему-то сейчас думаю о Чебышеве). Возможно, math.SE может что-то сказать. Кстати, я нашел это в Интернете: «Собственные функции, $y_j$ , имеют узлы между $a$ и $b$ , число таких узлов увеличивается с ростом $j$ . Собственная функция $y_0(x)$ не имеет узлов, $y_1(x)$ имеет один узел и т. д.» См. также ( ctrl+F«узел»),
Эта теорема о нулях n -го собственного состояния - $\psi_n(x)$ имеет n нулей. Вероятно, вы действительно можете сказать что-то о сочетании экстремумов обоих $V(x)$ и $\psi_n(x)$ но я не думаю, что есть доказанная теорема
В бесконечной потенциальной яме ваш оператор компактен, а значит, его спектр будет счетным. Затем энергия увеличивается с $n^2$ (что означает, что оно монотонно возрастает), а поскольку решения являются колебательными и подчинены граничным условиям, которые сокращают волновую функцию на стенках, единственный вариант для него — развивать новый экстремум для каждого значения возрастания $n$ . Если ваш оператор уже не является компактным, то о спектре вы ничего не можете сказать, кроме того, что он несчетен , а значит, не следует такому правилу. Хорошим примером является конечная потенциальная яма.
Нули и узлы @OON - это, по сути, одно и то же, потому что волновая функция непрерывна и дифференцируема (теорема Ролля: « любая дифференцируемая функция с действительным знаком, которая достигает равных значений в двух разных точках, должна иметь стационарную точку где-то между ними ")
Нули и узлы @AccidentalFourierTransform — это одно и то же. Нулей и экстремумов нет. И нулевая мода не должна иметь нулей, но может иметь три экстремума, если она имеет небольшую яму на вершине большой колоколообразной кривой (для потенциала, который имеет две ямы рядом друг с другом).

Qмеханик · Answer 1

I) Рассматриваем 1D ТИСЭ

\begin{matrix} (1) & - ψ_{н}^{''} (Икс) + В (Икс) ψ_{н} (Икс) знак равно Е_{н} ψ_{н} (Икс) . \end{matrix}

$-\psi^{\prime\prime}_n(x) +V(x)\psi_n(x) ~=~ E_n\psi_n(x) .\tag{1}$

II) Из физики $^{\dagger}$ точки зрения, наиболее важными условиями являются:

Что существует основное состояние $\psi_1(x)$ .
Что мы рассматриваем только собственные значения
$\begin{matrix} (2) & Е_{н} < \underset{Икс \to \pm \infty}{лим инф} В (Икс) . \end{matrix}$ $E_n ~<~\liminf_{x\to \pm\infty}~ V(x). \tag{2}$ уравнение (2) влечет граничные условия $\begin{matrix} (3) & \underset{Икс \to \pm \infty}{лим} ψ_{н} (Икс) знак равно 0 . \end{matrix}$ $\lim _{x\to \pm\infty} \psi_n(x)~=~0 .\tag{3}$ Затем мы можем рассмотреть $x=\pm\infty$ как 2 граничных узла. (Если $x$ -пространство является компактным интервалом $[a,b]$ , обозначение $\pm\infty$ следует заменить конечными точками $a$ & $b$ , надеюсь, очевидным образом.)

Замечание: Используя комплексное сопряжение на ТИСЭ (1), мы можем без ограничения общности считать, что $\psi_n$ действительна и нормирована, ср. например , этот пост Phys.SE. Будем считать, что с этого момента.

Замечание: из аргумента Вронскиана, примененного к двум собственным функциям, следует, что собственные значения $E_n$ являются невырожденными.

Примечание: двойной (или выше) узел $x_0$ не может произойти, потому что он должен подчиняться $\psi_n(x_0)=0=\psi^{\prime}_n(x_0)$ . Тогда единственность ОДУ 2-го порядка означает, что $\psi_n\equiv 0$ . Противоречие.

III) Определить

\begin{matrix} (4) & ν (н) знак равно | {внутренние узлы ψ_{н}} |, \end{matrix}

$\nu(n)~:=~|\{\text{interior nodes of }\psi_n\}|,\tag{4}$

\begin{matrix} (5) & М_{+} (н) знак равно | {локальное максимальное количество баллов {Икс}_{0} за | ψ_{н} | с ψ_{н} ({Икс}_{0}) > 0} |, \end{matrix}

$M_+(n)~:=~|\{\text{local max points $x_0$ for $|\psi_n|$ with }\psi_n(x_0)>0\}|,\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & М_{-} (н) знак равно | {локальное максимальное количество баллов {Икс}_{0} за | ψ_{н} | с ψ_{н} ({Икс}_{0}) < 0} |, \end{matrix}

$M_-(n)~:=~|\{\text{local max points $x_0$ for $|\psi_n|$ with }\psi_n(x_0)<0\}|,\tag{6}$

\begin{matrix} (7) & м_{+} (н) знак равно | {местные минимальные баллы {Икс}_{0} за | ψ_{н} | с ψ_{н} ({Икс}_{0}) > 0} |, \end{matrix}

$m_+(n)~:=~|\{\text{local min points $x_0$ for $|\psi_n|$ with }\psi_n(x_0)>0\}|,\tag{7}$

\begin{matrix} (8) & м_{-} (н) знак равно | {местные минимальные баллы {Икс}_{0} за | ψ_{н} | с ψ_{н} ({Икс}_{0}) < 0} |, \end{matrix}

$m_-(n)~:=~|\{\text{local min points $x_0$ for $|\psi_n|$ with }\psi_n(x_0)<0\}|,\tag{8}$

\begin{matrix} (9) & М (н) знак равно | {локальное максимальное количество баллов за | ψ_{н} |} | знак равно М_{+} (н) + М_{-} (н), \end{matrix}

$M(n)~:=~|\{\text{local max points for }|\psi_n|\}|~=~M_+(n)+M_-(n), \tag{9}$

\begin{matrix} (10) & м (н) знак равно | {местные минимальные баллы {Икс}_{0} за | ψ_{н} | с ψ_{н} ({Икс}_{0}) \neq 0} | знак равно м_{+} (н) + м_{-} (н), \end{matrix}

$m(n)~:=~|\{\text{local min points $x_0$ for $|\psi_n|$ with }\psi_n(x_0)\neq 0\}|~=~m_+(n)+m_-(n), \tag{10}$

\begin{matrix} (11) & Δ М_{\pm} (н) знак равно М_{\pm} (н) - м_{\pm} (н) \geq 0. \end{matrix}

$\Delta M_{\pm}(n)~:=~M_{\pm}(n)-m_{\pm}(n)~\geq~0.\tag{11}$

Наблюдение. Локальные максимальные (минимальные) баллы за $|\psi_n|\neq 0$ может происходить только в классических разрешенных (запрещенных) интервалах, т. е. колебательных (экспоненциальных) интервалах соответственно.

Отметим, что роли $\pm$ перевернуть, если мы изменим общий знак реальной волновой функции $\psi_n$ .

Предложение.
$\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} Δ М_{+} (н) + Δ М_{-} (н) знак равно & ν (н) + 1, \\ | Δ М_{+} (н) - Δ М_{-} (н) | знак равно & 2 ф р а с (\frac{ν (н) + 1}{2}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\Delta M_+(n)+\Delta M_-(n)~=~&\nu(n)+1, \cr |\Delta M_+(n)-\Delta M_-(n)|~=~&2~{\rm frac}\left(\frac{\nu(n)+1}{2}\right).\end{align}\tag{12}$

Набросанное доказательство: используйте рассуждения Морса. $\Box$

IV) Наконец, давайте сосредоточимся на узлах.

Лемма. Если $E_n<E_m$ , то для каждой пары из 2 последовательных узлов для $\psi_n$ , собственная функция $\psi_m$ имеет по крайней мере один узел строго посередине.

Схематичное доказательство леммы: используйте аргумент Вронскиана, применяемый к $\psi_n$ & $\psi_m$ , ср. исх. 1-2. $\Box$

Теорема. С учетом приведенных выше допущений из раздела II $n$ '-я собственная функция $\psi_n$ имеет
$\begin{matrix} (13) & ν (н) знак равно н - 1. \end{matrix}$ $\nu(n)~=~n\!-\!1.\tag{13}$

Схематическое доказательство теоремы:

$\nu(n) \geq n\!-\!1$ : Используйте Лемму. $\Box$
$\nu(n) \leq n\!-\!1$ : Усечь собственную функцию $\psi_n$ так что он поддерживается только между двумя последовательными узлами. Если узлов слишком много, в вариационном аргументе min-max будет слишком много независимых собственных функций , что приведет к противоречию, ср. Ссылка 1. $\Box$

Примечание: Ссылка. 2 содержит интуитивный эвристический аргумент в пользу теоремы: представьте, что $V(x)=V_{t=1}(x)$ принадлежит непрерывному 1-параметрическому семейству потенциальных $V_{t}(x)$ , $t\in[0,1]$ , такой, что $V_{t=0}(x)$ удовлетворяет свойству (4). Возьмите, например $V_{t=0}(x)$ быть потенциалом гармонического осциллятора или потенциалом бесконечной ямы . Теперь, если лишний узел развивается на каком-то $(t_0,x_0)$ , это должен быть двойной/более высокий узел. Противоречие.

Использованная литература:

Р. Гильберт и Д. Курант, Методы математики. Физ., Том. 1; Раздел VI.
М. Морикони, Am. Дж. Физ. 75 (2007) 284 , arXiv:quant-ph/0702260 .

--

$^{\dagger}$ Для более строгой математической обработки рассмотрите вопрос на MO.SE или Math.SE.

Хороший ответ. Отметим, что если потенциал $V(x)$ имеет только один минимум (как и во всех приведенных выше случаях, для которых утверждение верно, но не для двойной конечной квадратной ямы), то никогда не будет классически запрещенной области для любого $E$ это тоже не включает $+\infty$ или $-\infty$ . Я думаю, что тогда это означает, что не будет никаких локальных минимумов $|\psi_n(x)|$ , и поэтому что $\Delta M_+ + \Delta M_- = M = \nu + 1$ .

Когда nnn-е связанное состояние одномерного квантового потенциала имеет nnn максимумов/минимумов?

Майкл Зайферт

СлучайныйПреобразование Фурье

ООО

QuantumBrick

СлучайныйПреобразование Фурье

ООО

Ответы (1)

Qмеханик

Майкл Зайферт

Qмеханик

Непрерывность и гладкость волновой функции

Решение для обратного квадратного потенциала в пространственных измерениях d = 3d = 3d = 3 в квантовой механике [дубликат]

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

Явное решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы, которое начинается как дельта-функция

Когда собственные функции/волновые функции реальны?

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Волновая функция частицы в гравитационном поле

Является ли потенциал гармонического осциллятора уникальным наличием равноотстоящих дискретных энергетических уровней?

Конечная, квадратная, потенциальная яма