Непрерывность и гладкость волновой функции

Здесь мы хотим привести простой математический начальный аргумент, почему решения независимого от времени одномерного уравнения Шредингера (TISE) имеют тенденцию быть довольно хорошими. Сначала формально перепишем дифференциальную форму

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi^{\prime\prime}(x) + V(x) \psi(x) ~=~ E \psi(x) \tag{1}$$

в интегральную форму

$$\psi(x)~=~ \frac{2m}{\hbar^2} \int^{x}\mathrm{d}y \int^{y}\mathrm{d}z\ (V(z)-E)\psi(z) .\tag{2}$$

В этом ответе мы будем предполагать, что интегральная форма (2) [а не часто записываемая дифференциальная форма (1)] является отправной точкой.

Бывают разные случаи.

1. Случай$V \in {\cal L}^2_{\rm loc}(\mathbb{R})$функция, интегрируемая с локальным квадратом . Предположим, что волновая функция$\psi \in {\cal L}^2_{\rm loc}(\mathbb{R})$также. Тогда продукт$(V-E)\psi\in {\cal L}^1_{\rm loc}(\mathbb{R})$в силу неравенства Коши–Шварца . Тогда интеграл$y\mapsto \int^{y}\mathrm{d}z\ (V(z)-E)\psi(z)$непрерывна , и, следовательно , волновая функция$\psi$на лев. экв. (2) гладкий$\psi\in C^{1}(\mathbb{R}).$

2. Случай$V \in C^{p}(\mathbb{R})$для неотрицательного целого числа$p\in\mathbb{N}_0$. Аналогичный аргумент начальной загрузки показывает, что$\psi\in C^{p+2}(\mathbb{R}).$

Приведенные выше два случая не охватывают пару часто используемых математически идеализированных потенциалов.$V(x)$, например,

1. бесконечная стена$V(x)=\infty$в каком-то регионе. (Волновая функция должна обращаться в нуль$\psi(x)=0$в этой области.)

2. или дельта -распределение Дирака $V(x)=V_0\delta(x)$. См. также здесь .

Кое-что из этого обсуждалось в другом месте. См. «значение неограниченных операторов» https://physics.stackexchange.com/a/19569/6432 .

Неверно, что волновая функция должна быть непрерывной, она просто должна быть измеримой (т. е. предел ступенчатых функций почти везде). Естественно, вы можете задаться вопросом, какой смысл имеет уравнение Шредингера, если вы примените его к ступенчатой ​​функции... но ответ проще, чем беспокоиться о слабых решениях распределения. Дело в том, что вы можете решить зависящее от времени уравнение Шредингера с экспоненциальной

$$e^{itH},$$ который представляет собой семейство унитарных операторов и ведет себя лучше, чем $H$вы должны использовать в уравнении Шредингера. $H$вы должны использовать, например $$-{\partial ^2\over\partial x^2} + \mathrm{other\ stuff},$$ неограничен. И недифференцируемые функции не входят в его область. Но подстановка его в степенной ряд для экспоненты все равно сходится по норме, так что результирующий оператор, будучи ограниченным и даже унитарным в плотной области гильбертова пространства, может быть безболезненно распространен на все пространство, даже на ступенчатые функции. Поэтому более разумно сказать, что решение уравнения Шредингера с заданным начальным условием $\psi_o$является $$\psi_t (x) = e^{itH}\cdot \psi_o (x)$$ и нет необходимости вносить дистрибутивные слабые решения. Эти соображения называются теоремой Стоуна — фон Неймана.

Но такие функции не очень важны, и на самом деле можно выполнить всю квантовую механику с гладкими функциями, особенно если вы придерживаетесь мнения, что, например, потенциал с прямоугольной ямой также нефизичен и на самом деле представляет собой просто упрощенную аппроксимацию физический потенциал, который сгладил эти квадратные углы, но имел неуправляемую формулу... См. Энтони Садбери, Квантовая механика и частицы природы , которая, поскольку она написана математиком, внимательно относится к таким незначительным вопросам, как этот.

То семейство операторов, которое я записал, называется операторами эволюции времени, и они представляют собой пример унитарной группы с одним параметром — временем. Легко видеть, что если$\psi_o$, начальное условие, состояние квантовой системы в момент времени$t=0$, красиво и гладко, то все будущие состояния также будут красивыми и гладкими. Кроме того, все обычные квантовые наблюдаемые имеют собственные состояния, которые являются хорошими и гладкими, поэтому, если вы выполните измерение в будущем, вы получите функцию, которая будет хорошей и гладкой, и ее будущая эволюция во времени останется такой же, до следующего измерения и т. д. до Судного дня.

Тем не менее, для всех практических целей вы можете предположить, что все волновые функции гладкие, и что единственная причина, по которой вы изучаете разрывные функции, - это удобные приближения.

Комментарий, который иногда можно услышать, состоит в том, что волновая функция, которая не находится в области гамильтониана, будет «иметь бесконечную энергию», но это чепуха. В квантовой механике нельзя говорить о квантовой системе как о имеющей определенное значение наблюдаемой, если только она не находится в собственном состоянии этой наблюдаемой. Вы можете спросить, каковы будут ожидания этого наблюдаемого. Если волновая функция$\psi$разрывна и не находится в области гамильтониана, она не может быть собственным состоянием, но если измерить ее энергию, то ответ всегда будет конечным. Но ожидания его энергии не существует, или можно сказать, что ожидание «бесконечно». Не энергия, ее ожидание. В этом нет ничего очень нефизического, потому что само ожидание не является непосредственно физическим: вы не можете измерить ожидание, если не сделаете бесконечно много измерений, и ваш оценочный ответ, даже для этой прерывистой функции, всегда будет конечным ожиданием. Просто эти оценки очень неточны, ожидание действительно бесконечно (как распределение Коши в статистике).

Но даже для такой «плохой» волновой функции применимы все аксиомы квантовой механики: вероятность того, что измеренная энергия будет равна 7 эрг, вычисляется обычным способом. Но эти плохие волновые функции никогда не возникают в элементарных системах или упражнениях, поэтому большинство людей считают их «нефизическими». И, как я сказал, если начальным условием является «хорошая» волновая функция, система никогда не будет развиваться вне этого. Это, я думаю, связано с тем, что в КМ все системы имеют конечное число степеней свободы: это было бы уже не так для квантовых систем с бесконечным числом степеней свободы, таких как изучаемые в статистической механике.

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции в пространстве положений имеет вид

$$\left(\frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 +(V-E) \right)\Psi=0$$

Где$E$- энергия этого конкретного собственного состояния, и$V$вообще зависит от позиции. Все физические волновые функции должны находиться в некоторой суперпозиции состояний, удовлетворяющих этому уравнению.

По крайней мере, в нерелятивистской КМ волновая функция не может иметь бесконечную энергию. Если вторая производная волновой функции не существует или бесконечна, это означает, что либо$V$обладает некоторым свойством, которое «устраняет» разрыв (как в бесконечной квадратной яме), или что волновая функция непрерывна и дифференцируема всюду.

В целом,$\Psi$всегда должна быть непрерывной, и любая пространственная производная от$\Psi$должно существовать, если только$V$в этой точке бесконечно.

Решение уравнения Дирака для атома водорода в основном состоянии (под точечными ядрами, фиксированное положение ядер) включает, как указано в этой ссылке ,

$$r^{\gamma-1},$$ где $$\gamma = \sqrt{k^2 - Z^2 \alpha^2 } = \sqrt{ 1 - 1/137^2} < 1,$$ таким образом, он расходится в начале координат. А именно не непрерывны (не принадлежат$C^0$, таким образом, не может быть$C^2$), но все же в пределах$L^2$космос.