Полнота собственных функций энергии

Прежде чем я начну, позвольте мне сделать паузу, чтобы заметить, что в следующих словах (и, более или менее, во всей учебной программе бакалавриата) есть небольшая ложь , которую можно обнаружить, когда очень увлекаешься математикой; прямо сейчас он присутствует в этой статье в Википедии как «тонкости неограниченного случая» ... наши «эрмитовы» операторы, как правило, не определены четко для всех состояний, которые мы хотели бы. Это становится особенно важным, когда мы смотрим на собственные состояния положения и импульса — очень часто состояния становятся ненормируемыми, и физика может стать несколько неуклюжей в их терминах.

С этой оговоркой да: собственные функции любого заданного гамильтониана всегда являются полной основой для всего пространства . Например, можно подойти к любому одномерному гамильтониану с собственными функциями гармонического осциллятора; это действительные волновые функции, которые охватывают пространство.

Полезно это или нет — это отдельная история. Допустим, у вас есть куча функций$\hat H_1 |\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle$но потом вы приводите их к новому гамильтониану$\hat H_2$. В общем$|\psi_n\rangle$больше не будет собственным вектором для$\hat H_2,$и, следовательно, его эволюция в соответствии с этим новым уравнением Шредингера не будет$|\psi_n(t)\rangle = e^{-iE_n t/\hbar} |\psi_n(0)\rangle,$так что эти энергии и волновые функции не являются явно полезными в этом новом контексте.

Что ж, есть способ сделать их полезными, но, конечно, это действительно хорошо работает только тогда, когда$\hat H_1$и$\hat H_2$иметь какие-то хорошие отношения. Уравнение Шредингера$i \hbar \partial_t |\Psi\rangle = \hat H |\Psi\rangle$можно сформулировать чисто как унитарный оператор$|\Psi(t)\rangle = \hat U(t) |\Psi_0\rangle.$Условие в том, что$i\hbar \partial_t \hat U = \hat H \hat U,$но это не проблема в теории. Это означает, что все наши ожидаемые значения во втором случае принимают вид

$$A(t) = \langle \Psi(t)|\hat A |\Psi(t)\rangle = \langle \Psi_0|\hat U_2^\dagger \hat A \hat U_2|\Psi_0\rangle.$$ Теперь, поскольку унитарный оператор определяется как $U^\dagger U = 1$мы будем вставлять стратегические $\hat U_1^\dagger \hat U_1$термины, чтобы переписать это же значение ожидания как $$A(t) = \langle \Psi_0|\hat U_1^\dagger ~\Big(\hat U_1 \hat U_2^\dagger \hat A \hat U_2 \hat U_1^\dagger\Big)\hat U_1 |\Psi_0\rangle.$$ Обратите внимание, что теперь у этого оператора в скобках есть сложная временная зависимость. $\tilde A = \hat U_1 \hat U_2^\dagger \hat A \hat U_2 \hat U_1^\dagger$, но самые внешние волновые функции подчиняются уравнению Шредингера для $\hat H_1$, нет $\hat H_2$. Цена заключается в том, что мы должны изменить наших операторов, чтобы иметь эту сложную зависимость от времени. $\tilde A(t)$, которое принимает форму действительно большого правила продукта, $$\begin{align} i\hbar\partial_t \tilde A = &H_1 U_1 U^\dagger_2 \hat A U_2 U_1^\dagger - U_1 U^\dagger_2 H_2 \hat A U_2 U_1^\dagger + i\hbar\tilde{\dot A} + \\ &U_1 U^\dagger_2 \hat A H_2 U_2 U_1^\dagger - U_1 U^\dagger_2 \hat A U_2 U_1^\dagger H_1. \end{align}$$ (Знак минус для кинжалов возникает из-за сопряженного транспонирования более раннего уравнения Шредингера.)

Для того, чтобы с этим справиться, нужно заменить эти$\hat A$операторы с$U_2 U_1^\dagger \tilde A U_1 U_2^\dagger$который дает:

$$\begin{align} i\hbar\partial_t \tilde A = &H_1 \tilde A - U_1 U^\dagger_2 H_2 U_2 U_1^\dagger \tilde A + i\hbar\tilde{\dot A} + \\ &\tilde A U_1 U_2^\dagger H_2 U_2 U_1^\dagger - \tilde A H_1. \end{align}$$ Мы видим, что единственное сложное, что осталось, это то, что нам также нужно $\tilde H_2$учитывать эти выражения, а не $t=0$значение $H_2$. Как только это будет сделано, мы найдем только $$i\hbar\partial_t \tilde A = [H_1 - \tilde H_2, \tilde A] + i\hbar\tilde{\dot A}.$$ Это называется «изображение взаимодействия», потому что обычно мы используем некоторые простые для решения ортогональные состояния. $\hat H_1 = H_0$а затем добавить некоторый термин взаимодействия, который связывает их, $\hat H_2 = H_0 + V.$Уравнение для нестационарного $\tilde H_2$просто $$i\hbar\partial_t \tilde H_2 = [H_1 - \tilde H_2, \tilde H_2] = [H_1, \tilde H_2],$$ и во многих случаях это просто добавляет некоторые фазовые факторы к терминам в $V$. Тогда вместо вычисления совершенно новых базисных состояний мы можем использовать наиболее знакомые, предпочитая вместо этого находить дифференциальные уравнения для интересующих нас наблюдаемых и решать их в некоторых пределах.

Вы должны быть немного более осторожным. Когда вы говорите, что «собственные функции импульса полны по отношению к любому потенциалу», вы говорите, что любую функцию можно разложить как

$$f(x) = \int \frac{dp}{2\pi} \, e^{ipx} \hat{f}(p)\,, \quad \hat{f}(p) = \int dx\, e^{-ipx} f(x)\,.$$ Но это формальный нонсенс: для общей функции $f(x)$, интеграл, определяющий $\hat{f}(p)$не существует (расходится). Вам нужно наложить некоторые условия на $f$, например, что $$\int dx \, |f(x)|^2 < \infty\,.$$ Налагая такие ограничения (вы можете сделать различные выборы), вы определяете класс функций, который в точности является гильбертовым пространством. Это ведет вас по математическому пути определения преобразования Фурье.

То же самое относится и к интересующему вас типу задач, а именно к полному базису волновых функций.$\{\psi_n\}$относительно некоторого потенциала$V(x)$. Там у вас есть разложение

$$f(x) = \sum_n f_n \psi_n(x)\,, \quad f_n = \int dx\, w(x)\, \psi_n^*(x)\, f(x)$$ где это, возможно, некоторая весовая функция $w(x)$. Снова интеграл, определяющий $f_n$расходится, если вы подключаете общую функцию $f(x)$. Опять же, вам придется работать в некотором гильбертовом пространстве. $\mathcal{H}$понять смысл этих манипуляций. Если вы выполните это упражнение, вы увидите, что граничные условия на бесконечности (или в некоторых граничных точках, если вы работаете с конечным интервалом) по существу закодированы потенциалом $V(x)$.

Все это дело называется теорией Штурма-Лиувилля, и если вы хотите понять КМ на сколько-нибудь серьезном уровне, вам следует потратить некоторое время на ее изучение (это несложно).

Если ваш потенциал зависит от времени, я не вижу способа оправдать использование «независимого от времени» уравнения Шредингера. Допустим, что$H$это оператор, который содержит только производные и операторы умножения относительно переменных$\mathbf x$. Забыв числовые факторы, можно записать уравнение Шредингера как

$$H\psi = \dot\psi.$$

По теории Штурма-Лиувилля будем искать решения вида$\psi(\mathbf x,t) = \phi(\mathbf x)\chi(t)$. Тогда мы придем к равенству

$$\frac{H\phi}\phi(\mathbf x) = \frac{\dot\chi}\chi(t),\qquad\forall\ \mathbf x,t$$

что означает, что каждый член постоянен, т. е. мы получаем «не зависящее от времени» уравнение

$$H\phi(\mathbf x) = E\phi(\mathbf x).$$

Если$H$имеет зависимость от$t$через$V$Я не понимаю, как прийти к таким же выводам.