Гильбертово пространство в представлении Дирака

Question

Гильбертово пространство в представлении Дирака

МатематикаМатематика

Я читал здесь несколько старых сообщений об обмене физическими стеками и понял то, чего никогда раньше не видел.

Позволять $\mathscr{H}$ быть гильбертовым пространством над $\mathbb{C}$ . Ортонормированная система – это семейство $\{e_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$ из $\mathscr{H}$ такой, что $\langle e_\alpha, e_{\beta}\rangle =0$ если $\alpha \neq \beta$ и $\langle e_{\alpha},e_{\alpha}\rangle \equiv ||e_{\alpha}||^{2} = 1$ . Для простоты положим $I = \mathbb{N}$ так что наша ортонормированная система счетно бесконечна. Сумма:

\begin{array}{rcl} (1) & \sum_{н е Н} α_{к} е_{к} α_{н} е С, для каждого н е Н \end{array}

$\begin{eqnarray} \sum_{n\in \mathbb{N}}\alpha_{k}e_{k} \quad \mbox{$\alpha_{n}\in \mathbb{C}$, for every $n\in \mathbb{N}$} \tag{1}\label{1} \end{eqnarray}$ сходится в

H

$\mathscr{H}$ если и только если:

\begin{array}{rcl} (2) & \sum_{н е Н} | α_{н} |^{2} < + \infty \end{array}

$\begin{eqnarray} \sum_{n\in \mathbb{N}}|\alpha_{n}|^{2} <+\infty \tag{2}\label{2} \end{eqnarray}$ В этом случае, если

x = \sum_{n \in N} α_{n} e_{n}

$x= \sum_{n\in \mathbb{N}}\alpha_{n}e_{n}$ , можно доказать, что коэффициенты

α_{n}

$\alpha_{n}$ даны

α_{n} = ⟨ e_{n}, x ⟩

$\alpha_{n}=\langle e_{n},x\rangle$ , так что:

\begin{array}{rcl} (3) & Икс "=" \sum_{н е Н} ⟨ е_{н}, Икс ⟩ е_{н} \end{array}

$\begin{eqnarray} x = \sum_{n\in \mathbb{N}}\langle e_{n},x\rangle e_{n}\tag{3}\label{3} \end{eqnarray}$ Если, кроме того,

{e_{n}}_{n \in N}

$\{e_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ является полной ортонормированной системой, а это означает, что никакая другая ортонормированная система не содержит

{e_{n}}_{n \in N}

$\{e_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ как собственное подмножество, каждое

x \in H

$x\in \mathscr{H}$ можно записать так (

3

$\ref{3}$ ).

Теперь давайте перейдем к квантовой механике в обозначениях Дирака. Обычно рассматривают гильбертово пространство $\mathscr{H}$ и элементы его элементы $|\psi\rangle$ . Предполагать $|x\rangle$ является собственной функцией оператора положения $\hat{x}$ .

\begin{array}{rcl} (4) & | ψ ⟩ "=" \int д Икс ψ (Икс) | Икс ⟩ \end{array}

$\begin{eqnarray} |\psi\rangle = \int dx \psi(x) |x\rangle \tag{4}\label{4} \end{eqnarray}$ Это аналогия того, что сделано в (

3

$\ref{3}$ ), где на этот раз коэффициенты определяются как:

⟨ Икс | ψ ⟩ "=" ψ (Икс)

$\langle x| \psi \rangle = \psi(x)$ Как оказалось,

ψ (x)

$\psi(x)$ является составной частью государства

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ в гильбертовом пространстве

H

$\mathscr{H}$ , но это именно то, что обычно используется при работе с волновой квантовой механикой, т.е.

ψ (x)

$\psi(x)$ именно то, что получается при решении независимого от времени уравнения Шрёдингера:

[- \frac{ℏ^{2}}{2 м} \nabla^{2} + В (Икс)] ψ (Икс) "=" Е ψ (Икс)

$\bigg{[}-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2} + V(x)\bigg{]}\psi(x) = E\psi(x)$

Теперь, вот мой вопрос.

При строгом рассмотрении квантовой механики обычно отправной точкой является гильбертово пространство. $L^{2}(\mathbb{R}^{d})$ (по крайней мере, для обычного решения задач учебника). Но это кажется подходящим гильбертовым пространством для коэффициентов , а не исходное абстрактное гильбертово пространство векторов. Используя предыдущую аналогию, выражение ( $\ref{3}$ ) говорит нам, что если $x \in \mathscr{H}$ тогда коэффициенты $\alpha_{k}$ являются элементами $\ell^{2}(\mathbb{N})$ . Итак, мой анализ верен? Другими словами, является ли гильбертово пространство $\mathscr{H}$ векторов Дирака $|\psi\rangle$ абстрактное гильбертово пространство, а использование собственного базиса положения требует волновых функций (коэффициенты $\psi(x)$ ) быть элементами другого гильбертова пространства $L^{2}(\mathbb{R}^{d})$ ?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Мне только что пришло в голову, что в приведенном примере гильбертово пространство состояний $|\psi\rangle$ также должно быть $L^{2}(\mathbb{R})$ чтобы понять оператора $\hat{x}$ как оператор умножения. В любом случае мораль остается: использование $L^{2}(\mathbb{R})$ как пространство волновых функций $\psi(x)$ не зависит от гильбертова пространства состояний $|\psi\rangle$ ?

Ответы (2)

Гильбертово пространство в представлении Дирака

Нуаралеф · Answer 1

Я думаю, вы только что открыли, что каждое (сепарабельное*) бесконечномерное гильбертово пространство $\mathcal H$ изометрически изоморфен $\ell^2$ . Изоморфизм задается отображением вектора $|\psi\rangle \in \mathcal H$ к списку коэффициентов $( \langle e_n | \psi \rangle )_n$ .

В частности, $L^2(\mathbb R^d)$ изоморфен $\ell^2$ . Например, функции Эрмита (собственные состояния квантового гармонического осциллятора) образуют счетный ортонормированный базис $L^2(\mathbb R)$ Таким образом, любая волновая функция может быть представлена в виде ее разложения по функциям Эрмита.

Ваша путаница, кажется, связана с положением собственных состояний $|x\rangle$ , которые выглядят как несчетный базис (и поэтому может выглядеть как $L^2$ отличается от $\ell^2$ ). Однако они имеют «бесконечную» норму, на самом деле не являются элементами гильбертова пространства и должны рассматриваться скорее как удобный инструмент/трюк для вычислений.

*Сепарабельность означает, что гильбертово пространство имеет счетную ортонормированную базу. Это всегда считается истинным в физике.

Гул · Answer 2

Собственные состояния положения на самом деле вообще не являются частью какого-либо гильбертова пространства. Волновая функция собственного состояния положения с собственным значением $x_{0}$ является $\psi(x)=\delta(x-x_{0})$ . Если мы попытаемся нормализовать это, нам нужно вычислить

\int_{- \infty}^{+ \infty} д Икс | ψ (Икс) |^{2} "=" \int_{- \infty}^{+ \infty} д Икс [дельта (Икс - {Икс}_{0})]^{2} "=" дельта (0) "=" \infty .

$\int_{-\infty}^{+\infty}dx\,|\psi(x)|^{2}=\int_{-\infty}^{+\infty}dx\,[\delta(x-x_{0})]^{2}=\delta(0)=\infty.$ Таким образом, это базовое состояние принципиально не нормализуется. То же верно и для собственных состояний импульса свободной частицы; плоская волна

ψ (x) = e^{i p_{0} x / ℏ}

$\psi(x)=e^{ip_{0}x/\hbar}$ не нормализуется на

- \infty < x < + \infty

$-\infty<x<+\infty$ .

Таким образом, эти волновые функции на самом деле не являются частью гильбертова пространства. $L^{2}(\mathbb{R})$ . Вместо этого они являются частью большего пространства, известного как «оснащенное» гильбертово пространство. Физические состояния соответствуют только состояниям истинного гильбертова пространства, но очень часто удобно использовать базисы (такие как базисы собственных состояний положения или импульса), которые не содержатся в физическом пространстве. Оснащенное пространство — это большее векторное пространство (с несчетной размерностью), без четко определенного скалярного произведения (или даже просто нормы), поэтому это не большее гильбертово пространство, а просто векторное пространство.

@Buzz, спасибо за потрясающий ответ. Итак, при использовании собственных состояний позиционного оператора пространство состояний Дирака $|\psi\rangle$ не собственное гильбертово пространство, а оснащенное гильбертово пространство? И поскольку se рассматривают его как гильбертово пространство, коэффициенты функции $\psi(x)$ теперь являются элементами $L^{2}$ вместо $\ell^{2}$ и это то, что мы на самом деле используем в большинстве расчетов уравнения Шредингера? Это правильно?

Гильбертово пространство в представлении Дирака

МатематикаМатематика

Ответы (2)

Нуаралеф

Гул

МатематикаМатематика

Какая интуиция стоит за матрицей плотности?

Что такое чистые состояния и операторы плотности?

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Рассеяние против связанных состояний

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Полнота собственных функций энергии

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?

Нормализация волновой функции свободной частицы

Общая волновая функция и уравнение Шрёдингера